Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
\int \frac{1}{e^{x}+1} d x, use x=-\ln u

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{e^{x}+1}\,dx
usando a substituição
x = -\ln u.
O conteúdo aqui é integração por substituição, em que vamos trocar a variável x por u para simplificar a integral.

Passo 2

Começamos relacionando u e x. Se
x = -\ln u,
então
u = e^{-x}
e diferenciando obtemos
dx = -\frac{1}{u}\,du.
Além disso,
e^{x} = e^{-\ln u} = \frac{1}{u}.

Passo 3

Substituímos na integral original:
\int \frac{1}{e^{x}+1}\,dx =\int \frac{1}{\frac{1}{u}+1}\,\biggl(-\frac{1}{u}\,du\biggr).
Dentro da fração,
\frac{1}{\frac{1}{u}+1} =\frac{1}{\frac{1+u}{u}} =\frac{u}{1+u}.
Logo a integral vira
\int \frac{u}{1+u}\,\biggl(-\frac{1}{u}\,du\biggr) =\int -\frac{1}{1+u}\,du.

Passo 4

A integral de -1/(1+u) é direta:
\int -\frac{1}{1+u}\,du =-\ln\bigl|1+u\bigr|+C.
Agora voltamos à variável x usando u=e^{-x}:
-\ln\bigl|1+u\bigr|+C =-\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr)+C.
Para simplificar, note que
\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{1+e^{x}}{e^{x}}\bigr) =\ln(1+e^{x})-\ln(e^{x}) =\ln(1+e^{x})-x,
então
-\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr) =x-\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+C.

Resposta

A antiderivada é
\boxed{x-\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+C}.

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