Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
e) integral d x1+raizx, use z=1+raizx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dx1+raizx usando a substituição z=1+raizx. O conteúdo é integração por substituição, e vamos precisar relacionar dx e raizx com dz.

Passo 2

A partir de z=1+raizx, derivamos ambos os lados para achar dx. Como dz=12raizx,dx, temos dx=2raizx,dz. Além disso, raizx=z-1, então dx=2(z-1),dz.
Substituindo na integral e simplificando a fração: integral dx1+raizx=integral 2(z-1)z,dz=integrall(2-2zr),dz

Passo 3

Agora integramos termo a termo: integrall(2-2zr),dz=2z-2ln|z|+C

Passo 4

Voltando à variável original, como z=1+raizx, a primitiva é 2(1+raizx)-2lnl(1+raizxr)+C. Podemos absorver a constante 2 em C e escrever 2raizx-2ln(1+raizx)+C.

Resposta

2(1+\sqrt{x}) - 2\ln(1+\sqrt{x}) + C

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