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Determine a derivada direcional da função f(x, y)=x^2 y^3-4 y no ponto (2,1) na direção do vetor v=2 i+5 j.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a derivada direcional da função f(x,y)=x^2y^3-4y no ponto (2,1) na direção do vetor v=2 i+5 j. Este tópico envolve derivadas parciais, gradiente e a fórmula da derivada direcional usando o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f. Lembrando que fx=partialpartial x(x^2y^3-4y) e fy=partialpartial y(x^2y^3-4y).
Derivando, obtemos
fx=2x,y^3
e
fy=3x^2,y^2-4 .

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (2,1). Substituindo x=2 e y=1 em fx e fy:
fx(2,1)=2cdot2cdot1^3=4
fy(2,1)=3cdot2^2cdot1^2-4=12-4=8 .

Passo 4

Para usar a fórmula da derivada direcional, precisamos do vetor unitário u na direção de v=(2,5). Calculamos o módulo de v:
| v|=raiz2^2+5^2=raiz29
e então
u=1raiz29(2,5)=l(tfrac2raiz29,tfrac5raiz29r) .

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente nabla f(2,1)=(4,8) com u:
D uf(2,1)= (4,8)cdotl(tfrac2raiz29,tfrac5raiz29r)=4cdot2+8cdot5raiz29=8+40raiz29=48raiz29

Resposta

48raiz29

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