Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
f) integral d xraiz1+x^13, use z=1+raiz[3]x

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular integral dxraiz1 + x^1/3 usando a substituição z = 1 + x^1/3. Neste problema aplicamos o método de mudança de variável para integrais.

Passo 2

Fazendo z = 1 + x^1/3, obtemos x^1/3 = z - 1, logo x = (z - 1)^3. Derivando, dx = 3(z - 1)^2 dz e também raiz1 + x^1/3 = raizz. Assim a integral vira integral 3 (z - 1)^2 z^-1/2 dz.

Passo 3

Expandimos (z - 1)^2 = z^2 - 2z + 1 e obtemos 3(z - 1)^2 z^-1/2 = 3(z^3/2 - 2z^1/2 + z^-1/2).

Passo 4

Aplicamos a regra de potência integral z^n dz = z^n+1n+1. Integrando termo a termo, temos integral 3z^3/2dz = 65z^5/2, integral -6z^1/2dz = -4z^3/2 e integral 3z^-1/2dz = 6z^1/2. Somando, a antiderivada em z é 65z^5/2 - 4z^3/2 + 6z^1/2 + C.

Passo 5

Voltando à variável original com z = 1 + x^1/3, obtemos a antiderivada em termos de x.

Resposta

65(1 + x^1/3)^5/2 - 4(1 + x^1/3)^3/2 + 6(1 + x^1/3)^1/2 + C

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