Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
f) integral arccos (2 x) d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular integral arccos(2x),dx usando o método de integração por partes, que parte da fórmula integral u,dv = u v - integral v,du. Para isso, precisamos da derivada de arccos(2x) e de integrar dx.

Passo 2

Escolhemos u = arccos(2x) e dv = dx. Assim, v = integral dx = x e restará calcular du = d[arccos(2x)].

Passo 3

Usando a regra da cadeia na derivada de arccos(u), temos
du = -1raiz1-(2x)^2cdot d(2x) = -2raiz1-4x^2,dx

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arccos(2x),dx = u v - integral v,du = xarccos(2x) - integral xl(-tfrac2raiz1-4x^2r)dx
Isso fica
xarccos(2x) + 2 integral xraiz1-4x^2,dx

Passo 5

Para calcular integral xraiz1-4x^2,dx, fazemos a substituição t = 1-4x^2, de onde dt = -8x,dx, ou seja, x,dx = -tfrac18dt. A integral vira
integral xraiz1-4x^2,dx = integral l(-tfrac18r)t^-tfrac12 dt = -tfrac18cdot 2t^tfrac12 + C = -tfrac14raizt + C
Substituindo t = 1-4x^2,
integral xraiz1-4x^2,dx = -tfrac14raiz1-4x^2 + C

Passo 6

Voltando para a expressão principal, obtemos
integral arccos(2x),dx = xarccos(2x) + 2l(-tfrac14raiz1-4x^2r) + C = xarccos(2x) - tfrac12raiz1-4x^2 + C

Resposta

xarccos(2x) - tfrac12raiz1-4x^2 + C

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