Seja f: D subset R R dada por:
f(x)=x^2+1x
(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão se existem.

Passo 1

O exercício pede para encontrar onde a função é côncava para cima ou para baixo e se existem pontos de inflexão para a função f(x)=x^2+1x definida em D= Rsetminus0. Vamos usar derivadas para isso.

Passo 2

Primeiro, calculamos a primeira derivada de f. Como f(x)=x+1x, temos
f'(x)=1 - 1x^2

Passo 3

Em seguida, obtemos a segunda derivada de f para avaliar a concavidade. Derivando f'(x) temos
f''(x)=2x^3

Passo 4

Agora, analisamos o sinal de f''(x)=2/x^3 nos dois intervalos que compõem o domínio:
  • Para x>0, x^3>0 e portanto f''(x)>0, o que indica concavidade para cima em (0,infty).
  • Para x<0, x^3<0 e portanto f''(x)<0, o que indica concavidade para baixo em (-,0).

Passo 5

Por fim, um ponto de inflexão ocorre quando f''(x) muda de sinal e idealmente f''(x)=0 ou é indefinida em um ponto do domínio. Aqui temos:
  • Não existe solução de f''(x)=0 pois 2/x^3 nunca zera.
  • A única mudança de sinal ocorreria em x=0, mas esse ponto não pertence ao domínio de f.
    Logo, não há pontos de inflexão na função.

Resposta

Concavidade para cima em (0,infty) e concavidade para baixo em (-,0). Não existem pontos de inflexão.

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