Seja
dada por:
(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão se existem.
Passo 1
O exercício pede para encontrar onde a função é côncava para cima ou para baixo e se existem pontos de inflexão para a função
definida em
. Vamos usar derivadas para isso.
Passo 2
Primeiro, calculamos a primeira derivada de
. Como
, temos
Passo 3
Em seguida, obtemos a segunda derivada de
para avaliar a concavidade. Derivando
temos
Passo 4
Agora, analisamos o sinal de
nos dois intervalos que compõem o domínio:
- Para
, e portanto , o que indica concavidade para cima em . - Para
, e portanto , o que indica concavidade para baixo em .
Passo 5
Por fim, um ponto de inflexão ocorre quando
muda de sinal e idealmente
ou é indefinida em um ponto do domínio. Aqui temos:
- Não existe solução de
pois nunca zera. - A única mudança de sinal ocorreria em
, mas esse ponto não pertence ao domínio de .
Logo, não há pontos de inflexão na função.
Resposta
Concavidade para cima em
e concavidade para baixo em
. Não existem pontos de inflexão.