Encontre o volume do sólido obtido pela rotação das região limitada pelas curvas
e
ao redor do eixo
(desenhe a região).
Passo 1
Vamos estudar o enunciado: precisamos achar o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
e
. Vamos usar o método dos lavadores (discos com furo).
Passo 2
Para determinar os limites de integração, achamos onde as duas curvas se interceptam, resolvendo
. Elevando ambos os lados ao quadrado e reorganizando, vemos que as soluções em
são
e
.
Na faixa , compare as funções:
e
. Como
, temos
. Assim, o raio externo é
e o interno é
.
Na faixa
Passo 3
Aplicando o método dos lavadores, o volume é dado por:
Calculando a integral:
Resposta
O volume do sólido é
.