Encontre o volume do sólido obtido pela rotação das região limitada pelas curvas y=raizx e y=x^3 ao redor do eixo x (desenhe a região).

Passo 1

Vamos estudar o enunciado: precisamos achar o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y = raizx e y = x^3. Vamos usar o método dos lavadores (discos com furo).

Passo 2

Para determinar os limites de integração, achamos onde as duas curvas se interceptam, resolvendo raizx = x^3. Elevando ambos os lados ao quadrado e reorganizando, vemos que as soluções em R>=0 são x=0 e x=1.
Na faixa x in [0,1], compare as funções: raizx = x^1/2 e x^3. Como 1/2 < 3, temos raizx >= x^3. Assim, o raio externo é R(x)=raizx e o interno é r(x)=x^3.

Passo 3

Aplicando o método dos lavadores, o volume é dado por:
V = pi integral0^1 (R(x)^2 - r(x)^2) , dx = pi integral0^1 (x - x^6) , dx
Calculando a integral:
integral0^1 (x - x^6) , dx = [x^22 - x^77]0^1 = 12 - 17 = 514

Resposta

O volume do sólido é 5pi14.

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