Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
[1]
integral(9 t^2-1raizt^3) d t

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
integrall(9,t^2-1raizt^3r),dt
usando uma tabela de integrais de potências e, em seguida, derivar o resultado para conferir que está correto. O conteúdo envolvido é a regra de potência para integração, isto é,
integral t^n,dt = t^n+1n+1 + C, nneq -1

Passo 2

Reescrevemos o termo 1/raizt^3 em forma de potência:
1raizt^3 = 1l(t^1/2r)^3 = t^-3/2
Assim a integral vira
integrall(9,t^2 - t^-3/2r),dt

Passo 3

Aplicamos a regra da potência a cada termo:
  1. Para integral 9,t^2,dt temos
    9;t^2+12+1 = 9;t^33 = 3,t^3
  2. Para integral -t^-3/2,dt temos
    -t^-3/2+1-3/2+1 = -t^-1/2-1/2 = 2,t^-1/2
Somando, obtemos
integrall(9,t^2 - t^-3/2r),dt = 3,t^3 + 2,t^-1/2 + C

Passo 4

Para conferir, derivamos o resultado:
ddtl(3,t^3r) = 9,t^2, ddtl(2,t^-1/2r) = 2cdotl(-tfrac12r),t^-3/2 = -,t^-3/2
Somando as derivadas, retomamos o integrando:
9,t^2 - t^-3/2
Portanto, a integral está correta.

Resposta

integrall(9,t^2-1raizt^3r),dt = 3,t^3 + 2raizt + C

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