Problema 4.8. Descreva critérios semelhantes aos estabelecidos acima para determinar os restos da divisão de um número por 4,8,25 e 125.

Passo 1

O enunciado pede critérios para determinar, a partir da representação decimal de um inteiro N, os restos de N nas divisões por 4, 8, 25 e 125. Vamos usar a ideia de que, em base decimal, potências de 10 podem ser nulas módulo certos divisores, de modo que o resto de N só depende de alguns dígitos finais.

Passo 2

Para o divisor 4: note que
10^2 = 100 equiv 0 pmod4
Logo, se escrevemos
N = 100cdot Q + r,
o resto de N na divisão por 4 é igual a r, onde r é o número formado pelos dois últimos dígitos de N. Basta então calcular o resto de r ao dividir por 4.

Passo 3

Para o divisor 8: observe que
10^3 = 1000 equiv 0 pmod8
Assim, na escrita
N = 1000cdot Q + s,
o resto de N por 8 é s, o número formado pelos três últimos dígitos de N. Bastará então reduzir s módulo 8.

Passo 4

Para o divisor 25: temos
10^2 = 100 equiv 0 pmod25
Logo, se
N = 100cdot Q + t,
o resto de N por 25 é t, o inteiro formado pelos dois últimos dígitos de N.

Passo 5

Para o divisor 125: verificamos
10^3 = 1000 equiv 0 pmod125
Logo, escrevendo
N = 1000cdot Q + u,
o resto de N por 125 é u, o número formado pelos três últimos dígitos de N.

Resposta

  • Resto de N em div 4: basta tomar os dois últimos dígitos de N e calcular esse valor bmod 4.
  • Resto de N em div 8: basta tomar os três últimos dígitos de N e calcular esse valor bmod 8.
  • Resto de N em div 25: basta tomar os dois últimos dígitos de N e calcular esse valor bmod 25.
  • Resto de N em div 125: basta tomar os três últimos dígitos de N e calcular esse valor bmod 125.

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