Se lim x 1 x^2-1(raizx-1)(x+a)=3, calcule o valor de a :
llll (a) a=3 & (b) a=2 & (c) a=13 & (d) a=0
(a)
(b)
(c)
(d)
Nāo sei

Passo 1

Beleza, o exercício é assim:
Calcular o valor de a para que
limxto1x^2-1(raizx-1)(x+a)=3
Conteúdo: limites com indeterminação do tipo 0/0.
O que vamos precisar:
  1. fatorar diferença de quadrados ( x^2-1),
  2. racionalizar a expressão que tem raizx-1 (usar o conjugado).

Passo 2

Primeiro, percebe que ao substituir x=1
1^2-1(raiz1-1)(1+a)=00,
ou seja, indeterminação 0/0.
Para resolver, vamos reescrever o numerador e o denominador para “cancelar” esse fator que dá zero.
  1. Fatoramos o numerador como diferença de quadrados:
x^2-1=(x-1)(x+1)
  1. Racionalizamos (raizx-1) multiplicando cima e baixo pelo seu conjugado (raizx+1):
(raizx-1)1 ;times;raizx+1raizx+1 =x-1raizx+1
Então o denominador original
(raizx-1)(x+a)
vira
x-1raizx+1,(x+a) =(x-1)(x+a)raizx+1

Passo 3

Substituindo essas reescritas na fração do limite:
x^2-1(raizx-1)(x+a) =(x-1)(x+1)(x-1)(x+a)raizx+1 =(x+1),raizx+1,x+a,
Agora podemos simplificar o fator (x-1) e não temos mais indeterminação.
Fazendo xto1:
limxto1(x+1),raizx+1x+a =(1+1),raiz1+11+a =2cdot21+a =41+a
Como o enunciado diz que esse limite vale 3, a gente impõe
41+a=3 Longrightarrow 4=3(1+a) Longrightarrow 3a=1 Longrightarrow a=tfrac13

Resposta

a = 13

Exercícios relacionados