Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=x ln (2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=xln(2x+1). Vamos usar a regra do produto para derivadas e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar o ln(2x+1).

Passo 2

Seja u(x)=x e v(x)=ln(2x+1). Pela regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos cada derivada:
u'(x)=ddx[x]=1,
e para v'(x)=ddx[ln(2x+1)] aplicamos a regra da cadeia: se v=ln(u) então v'=tfracu'u. Aqui u(x)=2x+1 tem u'(x)=2, logo
v'(x)=22x+1

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x), obtemos
f'(x)=1cdotln(2x+1)+xcdot22x+1 =ln(2x+1)+2x2x+1

Resposta

f'(x)=ln(2x+1)+2x2x+1

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