Calcule as seguintes integrais usando a técnica de frações parciais:
integral 3 x^3+1x^2(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral 3x^3+1x^2(x^2+1)^2,dx usando frações parciais; o conteúdo é decomposição em frações parciais com fator quadrático irreduzível repetido e integração de termos simples.

Passo 2

Para decompor, montamos o modelo:
3x^3+1x^2(x^2+1)^2 = Ax + Bx^2 + Cx + Dx^2+1 + Ex + F(x^2+1)^2
Multiplicando ambos os lados por x^2(x^2+1)^2, obtemos
3x^3+1 = A x(x^2+1)^2 + B(x^2+1)^2 + (Cx+D)x^2(x^2+1) + (Ex+F)x^2

Passo 3

Explicamos que vamos igualar coeficientes de potências de x:
A + C = 0, B + D = 0, 2A + C + E = 3, 2B + D + F = 0, A = 0, B = 1

Passo 4

Resolvendo o sistema: A=0, B=1, C=0, D=-1, E=3, F=-1. Logo
3x^3+1x^2(x^2+1)^2 = 1x^2 - 1x^2+1 + 3x - 1(x^2+1)^2

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
  1. integral 1x^2,dx = -1x
  2. integral -1x^2+1,dx = -arctan x

Passo 6

  1. Para integral 3x(x^2+1)^2,dx, fazemos u=x^2+1, du=2x,dx, resultando em
integral 3x(x^2+1)^2,dx = 32integral u^-2,du = -32(u) = -32(x^2+1)

Passo 7

  1. Para integral 1(x^2+1)^2,dx usamos a fórmula conhecida:
integral dx(x^2+1)^2 = x2(x^2+1) + 12arctan x
Como vinha com sinal menos, fica
$ -\frac{x}{2(x^{2}+1)} - \tfrac12\arctan x$.

Passo 8

Juntando tudo, o resultado geral é
-1x ;-x2(x^2+1) ; - 32(x^2+1) ; - 32arctan x + C,
que pode ser simplificado no termo racional.

Passo 9

Podemos reescrever o termo racional como
-x+32(x^2+1),
ficando a primitiva final abaixo.

Resposta

-1x - x+32(x^2+1) - tfrac32arctan x + C

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