Calcule as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
integral d x(x^2-4)^32

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dx(x^2 - 4)^3/2 usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolve integrais do tipo integral (x^2 - a^2)^-3/2dx e vamos usar a substituição x = 2sectheta para simplificar a raiz quadrada.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica a seguir:
x = 2sectheta, dx = 2secthetatantheta,dtheta, raizx^2 - 4 = 2tantheta

Passo 3

Substituindo na integral e simplificando o integrando, obtemos:
integral dx(x^2 - 4)^3/2 = integral 2secthetatantheta,dtheta(2tantheta)^3 = integral sectheta4tan^2theta,dtheta = 14integral costhetasin^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar tfrac14integral costhetasin^2theta,dtheta, usamos u=sintheta, du=costheta,dtheta:
14integral duu^2 = -14u + C = -14sintheta + C

Passo 5

Voltando para x via sintheta = raizx^2 - 4x, reescrevemos -tfrac14sintheta em termos de x.

Resposta

-\frac{x}{4\sqrt{x^2 - 4}} + C

Exercícios relacionados