Calcule as seguintes integrais usando a técnica de substituição:
integral d x4+3 x^2

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral dx4+3x^2 usando substituição. O conteúdo é integração por substituição e precisamos saber que integral du1+u^2 = arctan(u) + C.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para obter o formato a^2+u^2. Observamos que
4+3x^2 = 4l(1 + 3x^24r) = 4l(1 + l(raiz3,x2r)^2r)

Passo 3

Fazemos a substituição u = raiz3,x2. Então
du = raiz32,dx Longrightarrow dx = 2raiz3,du

Passo 4

Substituindo na integral, temos
integral dx4+3x^2 = integral 2raiz3,du4l(1+u^2r) = 2raiz3cdot14 integral du1+u^2 = 12raiz3 integral du1+u^2

Passo 5

Agora usamos a fórmula integral du1+u^2 = arctan(u) + C. Logo,
integral dx4+3x^2 = 12raiz3,arctan(u) + C

Passo 6

Voltando para x com u = raiz3,x2, a resposta final é
12raiz3 arctan!l(raiz3,x2r) + C

Resposta

12raiz3 arctanl(raiz3,x2r) + C

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