Calcule as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes:
integral sen(3 x) cos (2 x) d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular integral sin(3x)cos(2x),dx. O conteúdo envolve identidades trigonométricas e integração de senos e cossenos, que são conhecimentos básicos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, lembramos a identidade produto-para-soma:
sin Acos B = tfrac12l(sin(A+B)+sin(A-B)r)

Passo 3

Aplicando a essa integral com A=3x e B=2x, temos:
sin(3x)cos(2x) = tfrac12l(sin(5x)+sin(x)r)
Portanto,
integral sin(3x)cos(2x),dx = tfrac12 integral l(sin(5x)+sin(x)r)dx

Passo 4

Agora, integramos cada termo separadamente. Sabemos que
integral sin(5x),dx = -tfrac15cos(5x) e integral sin(x),dx = -cos(x)

Passo 5

Substituindo de volta e lembrando do fator tfrac12, obtemos:
integral sin(3x)cos(2x),dx = tfrac12l(-tfrac15cos(5x)-cos(x)r)+C = -tfrac110cos(5x) - tfrac12cos(x) + C

Resposta

-\tfrac{1}{10} \cos(5x) - \tfrac{1}{2} \cos(x) + C

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