Use o método de redução de ordem para determinar a solução geral de
2 x y^prime prime+(x-2) y^prime-y=0, x>0
sabendo que e^-x2 é uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método de redução de ordem. A gente tem a equação:
2x y'' + (x - 2) y' - y = 0, x > 0
E sabemos que uma solução dessa equação é $ y_1(x) = e^{-\frac{x}{2}} $. Vamos precisar usar esse conhecimento para encontrar a solução geral da equação. Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que é uma técnica que facilita achar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, se já temos uma solução $ y_1(x) $, podemos supor que a segunda solução $ y_2(x) $ tem a forma:
y1(x)
Aqui, $ v(x) $ é uma função que precisamos descobrir. A ideia é substituir $ y_2(x) $ na equação original e resolver para $ v(x) $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ y_2(x) $:
y2(x)
Então,
y2 = v cdot y1
E,
y2' = v' cdot y1 + v cdot y1'

Passo 4

Substituindo $ y_2 $, $ y_2’ $ e $ y_2’’ $ na equação original:
y2
Simplificando:
y2'

Passo 5

Agora, como $ y_1 $ é uma solução da equação original, sabemos que:
y1
Isso significa que os termos que têm apenas $ v $ vão cancelar, restando:
2x y1'' + (x - 2) y1' - y1 = 0

Passo 6

Vamos fatorar $ v’ $:
v'
No entanto, há um erro nesta etapa. Vamos simplificar corretamente:
Após o cancelamento, temos:
v' (2x y1'' + 4x y1' + x - 2 y1) + 2x y1 v'' = 0

Passo 7

Vamos dividir toda a equação por $ y_1 $:
y1
Isso simplifica a equação para uma equação de primeira ordem em termos de $ v’ $.

Passo 8

Vamos chamar $ u = v’ $, então $ u’ = v’’ $. Substituindo na equação:
u = v'
Essa é uma equação linear para $ u $.

Passo 9

Vamos encontrar o coeficiente:
Sabemos que $ y_1 = e^{-\frac{x}{2}} $, então:
y1 = e^-x2
Substituindo na equação:
y1'y1 = ddx ( e^-x2 ) cdot e^x2 = -12

Passo 10

Dividindo toda a equação por $ x $:
x
Agora, temos uma equação linear de primeira ordem para $ u $.

Passo 11

Vamos rearranjar a equação:
u' + (-12 - 1x) u = 0
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 12

O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Onde $ P(x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{x} $. Calculando:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 13

Multiplicamos a equação diferencial por $ \mu(x) $:
mu(x)
Isso simplifica para:
e^-x2x u' + e^-x2x (-12 - 1x) u = 0

Passo 14

Integrando ambos os lados:
e^-x2x u = C u = C cdot xe^-x2 = C x e^x2
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 15

Lembrando que $ u = v’ $, temos:
u = v'
Integrando novamente para encontrar $ v(x) $:
v' = C x e^x2

Passo 16

Vamos resolver a integral:
v(x) = C integral x e^x2 dx
Usando integração por partes, onde $ u = x $ e $ dv = e^{\frac{x}{2}} dx $, temos $ du = dx $ e $ v = 2 e^{\frac{x}{2}} $.
Então:
u = x

Passo 17

Simplificando:
v(x) = 2C ( x - 2 ) e^x2 + D
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante $ D $.

Passo 18

Agora, lembrando que $ y_2 = v(x) y_1(x) $:
y2 = v(x) y1(x)
Podemos simplificar a constante $ 2C $ para simplesmente $ C $, já que é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^-x2 + C2 (x - 2)
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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