Use o método de redução de ordem para determinar a solução geral de
sabendo que
é uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método de redução de ordem. A gente tem a equação:
E sabemos que uma solução dessa equação é $ y_1(x) = e^{-\frac{x}{2}} $. Vamos precisar usar esse conhecimento para encontrar a solução geral da equação. Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que é uma técnica que facilita achar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, se já temos uma solução $ y_1(x) $, podemos supor que a segunda solução $ y_2(x) $ tem a forma:
Aqui, $ v(x) $ é uma função que precisamos descobrir. A ideia é substituir $ y_2(x) $ na equação original e resolver para $ v(x) $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ y_2(x) $:
Então,
E,
Passo 4
Substituindo $ y_2 $, $ y_2’ $ e $ y_2’’ $ na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, como $ y_1 $ é uma solução da equação original, sabemos que:
Isso significa que os termos que têm apenas $ v $ vão cancelar, restando:
Passo 6
Vamos fatorar $ v’ $:
No entanto, há um erro nesta etapa. Vamos simplificar corretamente:
Após o cancelamento, temos:
Passo 7
Vamos dividir toda a equação por $ y_1 $:
Isso simplifica a equação para uma equação de primeira ordem em termos de $ v’ $.
Passo 8
Vamos chamar $ u = v’ $, então $ u’ = v’’ $. Substituindo na equação:
Essa é uma equação linear para $ u $.
Passo 9
Vamos encontrar o coeficiente:
Sabemos que $ y_1 = e^{-\frac{x}{2}} $, então:
Substituindo na equação:
Passo 10
Dividindo toda a equação por $ x $:
Agora, temos uma equação linear de primeira ordem para $ u $.
Passo 11
Vamos rearranjar a equação:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 12
O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Onde $ P(x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{x} $. Calculando:
Passo 13
Multiplicamos a equação diferencial por $ \mu(x) $:
Isso simplifica para:
Passo 14
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 15
Lembrando que $ u = v’ $, temos:
Integrando novamente para encontrar $ v(x) $:
Passo 16
Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde $ u = x $ e $ dv = e^{\frac{x}{2}} dx $, temos $ du = dx $ e $ v = 2 e^{\frac{x}{2}} $.
Então:
Passo 17
Simplificando:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante $ D $.
Passo 18
Agora, lembrando que $ y_2 = v(x) y_1(x) $:
Podemos simplificar a constante $ 2C $ para simplesmente $ C $, já que é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.