Encontre três soluções distintas para o PVI
Explique por que isso não viola o Teorema de Unicidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar três soluções diferentes para o Problema de Valor Inicial (PVI):
Aqui, estamos trabalhando com Equações Diferenciais Ordinárias. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e entender um pouquinho sobre unicidade de soluções para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, a condição inicial é
. Uma solução bem simples que vem na mente é a função zero:
Essa função, quando derivada, dá zero, e se a gente substituir na equação diferencial, fica:
Ou seja, funciona direitinho!
Passo 3
Agora, vamos procurar outras soluções. Vamos começar separando as variáveis na equação diferencial:
Podemos reescrever isso como:
Agora, vamos integrar os dois lados:
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração. Vamos isolar
:
Passo 4
Aplicando a condição inicial
, substituímos
:
Então, a solução fica:
Passo 5
Mas espera aí! Além das soluções que já encontramos, podemos ter soluções que sejam zero em certos intervalos e sigam a função que encontramos em outros. Por exemplo:
Onde
é um ponto onde a função começa a “ganhar vida”. No nosso caso, como
, podemos escolher
.
Resposta
Três soluções distintas para o PVI são:
-
Solução Zero:
-
Solução Não Trivial:
-
Solução em Partes:
Por que isso não viola o Teorema de Unicidade?
O Teorema de Unicidade, como o de Picard-Lindelöf, garante uma única solução para o PVI quando a função que multiplica
(neste caso,
) é Lipschitz contínua em torno do ponto inicial. No nosso problema, a função
não é Lipschitz contínua em
, pois a derivada com respeito a
se torna infinita quando
tende a zero. Isso permite que existam múltiplas soluções que satisfazem a condição inicial sem quebrar o teorema.