Encontre três soluções distintas para o PVI
y^prime=x^3 y^1 / 5, y(0)=0
Explique por que isso não viola o Teorema de Unicidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar três soluções diferentes para o Problema de Valor Inicial (PVI):
y^prime=x^3 y^1 / 5, y(0)=0
Aqui, estamos trabalhando com Equações Diferenciais Ordinárias. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e entender um pouquinho sobre unicidade de soluções para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, a condição inicial é y(0) = 0. Uma solução bem simples que vem na mente é a função zero:
y(x) = 0
Essa função, quando derivada, dá zero, e se a gente substituir na equação diferencial, fica:
0 = x^3 cdot 0^1/5 Rightarrow 0 = 0
Ou seja, funciona direitinho!

Passo 3

Agora, vamos procurar outras soluções. Vamos começar separando as variáveis na equação diferencial:
dydx = x^3 y^1/5
Podemos reescrever isso como:
y^-1/5 dy = x^3 dx
Agora, vamos integrar os dois lados:
integral y^-1/5 dy = integral x^3 dx
Integrando, temos:
54 y^4/5 = 14 x^4 + C
Onde C é a constante de integração. Vamos isolar y:
y = ( 15(x^4 + C) )^5/4

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0) = 0, substituímos x = 0:
0 = ( 15(0 + C) )^5/4 Rightarrow C = 0
Então, a solução fica:
y(x) = ( 15 x^4 )^5/4 = ( 15 )^5/4 x^5

Passo 5

Mas espera aí! Além das soluções que já encontramos, podemos ter soluções que sejam zero em certos intervalos e sigam a função que encontramos em outros. Por exemplo:
y(x) = 0, & se x <= a ( 15 )^5/4 (x - a)^5, & se x > a
Onde a é um ponto onde a função começa a “ganhar vida”. No nosso caso, como y(0) = 0, podemos escolher a = 0.

Resposta

Três soluções distintas para o PVI são:
  1. Solução Zero:
    y(x) = 0
  2. Solução Não Trivial:
    y(x) = ( 15 )^5/4 x^5
  3. Solução em Partes:
    y(x) = 0, & x <= 0 ( 15 )^5/4 x^5, & x > 0
Por que isso não viola o Teorema de Unicidade?
O Teorema de Unicidade, como o de Picard-Lindelöf, garante uma única solução para o PVI quando a função que multiplica y (neste caso, y^1/5) é Lipschitz contínua em torno do ponto inicial. No nosso problema, a função y^1/5 não é Lipschitz contínua em y = 0, pois a derivada com respeito a y se torna infinita quando y tende a zero. Isso permite que existam múltiplas soluções que satisfazem a condição inicial sem quebrar o teorema.

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