Dê os limites de integração, em coordenadas cilíndricas, para integrar
sobre a região
:
limitada abaixo por
, lateralmente pelo cilindro circular
e acima por
limitada abaixo por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar os limites de integração em coordenadas cilíndricas para integrar a função
sobre a região
. A região
é limitada abaixo por
, pelos lados pelo cilindro circular
e acima por
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante esse tipo de problema envolvendo cilindros e superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cilindro dado pela equação
. Em coordenadas cilíndricas, onde
e
, a equação fica:
Isso pode ser um pouco complicado, então vamos simplificar olhando para a geometria. Esse cilindro é um cilindro circular de raio 1, deslocado no eixo
para
. Então, em coordenadas cilíndricas, o raio
varia de 0 até 2
para cobrir toda a região dentro do cilindro.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para
. A região
é limitada abaixo por
e acima por
. Em coordenadas cilíndricas,
se transforma em
.
Então, para cada ponto dentro do cilindro,
vai de 0 até
.
Passo 4
Finalmente, vamos definir os limites para
. Como o cilindro está deslocado no eixo
,
varia de 0 a
para cobrir toda a volta ao redor do cilindro.
Resposta
Em coordenadas cilíndricas, os limites de integração são: