Dê os limites de integração, em coordenadas cilíndricas, para integrar f(x, y, z) sobre a região E :
limitada abaixo por z=0, lateralmente pelo cilindro circular x^2+(y-1)^2=1 e acima por z=x^2+y^2 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar os limites de integração em coordenadas cilíndricas para integrar a função sobre a região . A região é limitada abaixo por , pelos lados pelo cilindro circular e acima por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante esse tipo de problema envolvendo cilindros e superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cilindro dado pela equação (rcostheta)^2 + (rsintheta - 1)^2 = 1 . Em coordenadas cilíndricas, onde e , a equação fica:
Isso pode ser um pouco complicado, então vamos simplificar olhando para a geometria. Esse cilindro é um cilindro circular de raio 1, deslocado no eixo para . Então, em coordenadas cilíndricas, o raio varia de 0 até 2 para cobrir toda a região dentro do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para . A região é limitada abaixo por e acima por . Em coordenadas cilíndricas, se transforma em .
Então, para cada ponto dentro do cilindro, vai de 0 até .

Passo 4

Finalmente, vamos definir os limites para . Como o cilindro está deslocado no eixo , varia de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do cilindro.

Resposta

Em coordenadas cilíndricas, os limites de integração são:
0 <= r <= 2costheta 0 <= theta <= 2pi 0 <= z <= r^2

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