Seja S uma superfície parametrizada por
varphi(u, v)=(v cos u, v sen u, 1-v^2) ; 0 <= u <= v, v >= 0
(d) Encontre uma equação da reta normal e a equação do plano tangente a S em varphi(0,1).

Passo 1

A questão pede a reta normal e o plano tangente à superfície parametrizada por φ(u,v) = (v cos u, v sen u, 1−v²) no ponto φ(0,1). O conteúdo é cálculo de superfícies: vamos usar derivadas parciais para obter os vetores tangentes, depois o produto vetorial para achar a normal, e daí escrever a reta normal e o plano tangente.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de φ:
φ_u(u,v) = (−v sen u, v cos u, 0)
φ_v(u,v) = (cos u, sen u, −2v)
Esses vetores estão no plano tangente em qualquer ponto.

Passo 3

Agora avaliamos em (u,v)=(0,1):
φ_u(0,1) = (−1⋅0, 1⋅1, 0) = (0,1,0)
φ_v(0,1) = (1, 0, −2)

Passo 4

Com esses, o vetor normal n é o produto vetorial φ_u×φ_v:
φ_u(0,1)×φ_v(0,1) = (0,1,0)×(1,0,−2) = (−2,0,−1).
Podemos usar n = (2,0,1) trocando o sinal para simplificar.

Passo 5

O ponto na superfície é φ(0,1) = (1,0,0).

Passo 6

A reta normal passa por P=(1,0,0) na direção n=(2,0,1), logo:
(x,y,z) = (1,0,0) + t(2,0,1).

Passo 7

O plano tangente tem normal n=(2,0,1) e passa em (1,0,0), logo a equação é 2(x−1)+0⋅(y−0)+1⋅(z−0)=0, ou seja:
2(x−1)+z=0

Resposta

Reta normal: (x,y,z)=(1,0,0)+t,(2,0,1) Plano tangente: 2(x-1)+z=0

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