Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais:
\int \frac{x-1}{x^{4}-4 x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x-1}{x^{4}-4x^{2}}\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função a integrar é a função racional \dfrac{x-1}{x^{4}-4x^{2}}.
  • Solicita-se calcular a primitiva (integral indefinida) usando frações parciais.
  • Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador para ver a forma das frações parciais. Fatorando:
x^{4}-4x^{2}=x^{2}(x^{2}-4)=x^{2}(x-2)(x+2).
Como há um fator quadrado x^{2} e dois fatores lineares distintos, a forma padrão da decomposição em frações parciais é
\frac{x-1}{x^{2}(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{x+2},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Explicando: para um fator x^{2} repetido usamos termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}; para cada fator linear distinto (x-2) e (x+2) usamos constantes sobre esses fatores.

Passo 3

Multiplicando a identidade pelo denominador x^{2}(x-2)(x+2) obtemos uma igualdade polinomial válida para todo x:
x-1 = A\;x(x-2)(x+2) + B\;(x-2)(x+2) + C\;x^{2}(x+2) + D\;x^{2}(x-2).
Para encontrar B,C,D é eficiente avaliar em raízes do denominador:
  • Tomando x=0:
0-1=-1 = B\cdot(-2)\cdot 2 = -4B \quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{4}.
  • Tomando x=2:
2-1=1 = C\cdot 2^{2}\cdot(2+2)=C\cdot 4\cdot 4=16C \quad\Rightarrow\quad C=\tfrac{1}{16}.
  • Tomando x=-2:
-2-1=-3 = D\cdot (-2)^{2}\cdot(-2-2)=D\cdot 4\cdot(-4)=-16D \quad\Rightarrow\quad D=\tfrac{3}{16}.

Passo 4

Falta achar A. Substituímos um valor conveniente, por exemplo x=1 (qualquer x que não anule denominador serve) na identidade original:
1-1=0 = A\cdot 1\cdot(1-2)(1+2) + B\cdot(1-2)(1+2) + C\cdot 1^{2}(1+2) + D\cdot 1^{2}(1-2).
Calculando os fatores: (1-2)(1+2)=-1\cdot 3=-3. Usando os valores de B,C,D:
0 = A\cdot(-3) + B\cdot(-3) + C\cdot 3 + D\cdot(-1).
Substituindo B=\tfrac{1}{4}, C=\tfrac{1}{16}, D=\tfrac{3}{16}:
0 = -3A -3\cdot\tfrac{1}{4} + 3\cdot\tfrac{1}{16} - \tfrac{3}{16}.
Note que 3\cdot\tfrac{1}{16}-\tfrac{3}{16}=0. Portanto
0 = -3A - \tfrac{3}{4} \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Agora temos todas as constantes:
A=-\tfrac{1}{4},\qquad B=\tfrac{1}{4},\qquad C=\tfrac{1}{16},\qquad D=\tfrac{3}{16}.
A decomposição em frações parciais fica
\frac{x-1}{x^{4}-4x^{2}} = -\tfrac{1}{4}\cdot\frac{1}{x} + \tfrac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2}} + \tfrac{1}{16}\cdot\frac{1}{x-2} + \tfrac{3}{16}\cdot\frac{1}{x+2}.

Passo 6

Integramos termo a termo. Lembrando as primitivias básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+\text{constante}.
  • \displaystyle \int x^{-2}\,dx=\int \frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+\text{constante}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+\text{constante}.
Aplicando isso:
\int \frac{x-1}{x^{4}-4x^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{4}\int\frac{1}{x}\,dx + \tfrac{1}{4}\int\frac{1}{x^{2}}\,dx + \tfrac{1}{16}\int\frac{1}{x-2}\,dx + \tfrac{3}{16}\int\frac{1}{x+2}\,dx.
Calculando cada integral:
-\tfrac{1}{4}\int\frac{1}{x}\,dx = -\tfrac{1}{4}\ln|x|, \qquad \tfrac{1}{4}\int\frac{1}{x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{4}\left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{4x},
\tfrac{1}{16}\int\frac{1}{x-2}\,dx = \tfrac{1}{16}\ln|x-2|, \qquad \tfrac{3}{16}\int\frac{1}{x+2}\,dx = \tfrac{3}{16}\ln|x+2|.

Passo 7

Somando todas as parcelas e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva final:
\boxed{\, -\tfrac{1}{4}\ln|x| - \dfrac{1}{4x} + \tfrac{1}{16}\ln|x-2| + \tfrac{3}{16}\ln|x+2| + C \,}.

Resposta

-\tfrac{1}{4}\ln|x| - \dfrac{1}{4x} + \tfrac{1}{16}\ln|x-2| + \tfrac{3}{16}\ln|x+2| + C

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