Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e o que se pede:
- A função a integrar é a função racional
. - Solicita-se calcular a primitiva (integral indefinida) usando frações parciais.
- Nenhuma outra informação é necessária.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador para ver a forma das frações parciais. Fatorando:
Como há um fator quadrado
e dois fatores lineares distintos, a forma padrão da decomposição em frações parciais é
onde
são constantes a determinar. Explicando: para um fator
repetido usamos termos
; para cada fator linear distinto
e
usamos constantes sobre esses fatores.
Passo 3
Multiplicando a identidade pelo denominador
obtemos uma igualdade polinomial válida para todo
:
Para encontrar
é eficiente avaliar em raízes do denominador:
- Tomando
:
- Tomando
:
- Tomando
:
Passo 4
Falta achar
. Substituímos um valor conveniente, por exemplo
(qualquer
que não anule denominador serve) na identidade original:
Calculando os fatores:
. Usando os valores de
:
Substituindo
,
,
:
Note que
. Portanto
Passo 5
Agora temos todas as constantes:
A decomposição em frações parciais fica
Passo 6
Integramos termo a termo. Lembrando as primitivias básicas:
-
. -
. -
.
Aplicando isso:
Calculando cada integral:
Passo 7
Somando todas as parcelas e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva final: