Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais:
;
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é uma função racional, quociente de um polinômio de grau
pelo polinômio de grau . - É solicitado o cálculo da primitiva (integral indefinida), isto é, encontrar uma função
tal que . - A técnica indicada no enunciado é decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador para ver a estrutura das frações parciais. Vamos fatorar o polinômio
por agrupamento:
Reconhecendo uma diferença de quadrados em
:
Portanto o denominador fatora como
Ter três fatores lineares distintos é ótimo: a decomposição em frações parciais terá termos simples para cada fator linear.
Passo 3
Para fatores lineares distintos a decomposição tem a forma
onde
são constantes a determinar. Colocando tudo sobre o mesmo denominador e comparando numeradores obtemos a identidade polinomial
Vamos determinar
. Um método rápido é avaliar essa igualdade nos valores das raízes dos denominadores.
Passo 4
Avaliação nos pontos que anulam cada fator:
- Para
as parcelas com desaparecem, sobra apenas o termo com . Calcula-se:
Logo
- Para
só permanece o termo com :
logo
- Para
só permanece o termo com :
logo
Podemos, se desejar, verificar expandindo a expressão com esses
que o numerador se reduz a
; mas os cálculos acima já fornecem os valores corretos.
Passo 5
Substituindo a decomposição na integral obtemos
Com os valores encontrados
,
,
, isto é
Agora usamos a fórmula básica para integrar
:
porque a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Se quiser uma forma compacta usando uma única logarítmica (opcional), pode-se combinar os logaritmos:
com
ajustada, mas a forma em soma de logaritmos com coeficientes fracionários é mais direta para provas e cálculos.