Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais:
\int \frac{x-2}{x^{3}+2 x^{2}-x-2} d x;

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral
\int \frac{x-2}{x^{3}+2x^{2}-x-2}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é uma função racional, quociente de um polinômio de grau 1 pelo polinômio de grau 3.
  • É solicitado o cálculo da primitiva (integral indefinida), isto é, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x-2}{x^{3}+2x^{2}-x-2}.
  • A técnica indicada no enunciado é decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador para ver a estrutura das frações parciais. Vamos fatorar o polinômio x^{3}+2x^{2}-x-2 por agrupamento:
x^{3}+2x^{2}-x-2=(x^{3}+2x^{2})+(-x-2)=x^{2}(x+2)-1(x+2)=(x+2)(x^{2}-1).
Reconhecendo uma diferença de quadrados em x^{2}-1:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Portanto o denominador fatora como
x^{3}+2x^{2}-x-2=(x+2)(x-1)(x+1).
Ter três fatores lineares distintos é ótimo: a decomposição em frações parciais terá termos simples para cada fator linear.

Passo 3

Para fatores lineares distintos a decomposição tem a forma
\frac{x-2}{(x+2)(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Colocando tudo sobre o mesmo denominador e comparando numeradores obtemos a identidade polinomial
x-2 = A(x-1)(x+1)+B(x+2)(x+1)+C(x+2)(x-1).
Vamos determinar A,B,C. Um método rápido é avaliar essa igualdade nos valores das raízes dos denominadores.

Passo 4

Avaliação nos pontos que anulam cada fator:
  • Para x=-2 as parcelas com (x+2) desaparecem, sobra apenas o termo com A. Calcula-se:
(-2)-2 = -4 = A((-2)-1)((-2)+1)=A(-3)(-1)=3A.
Logo
A=-\tfrac{4}{3}.
  • Para x=1 só permanece o termo com B:
1-2=-1 = B(1+2)(1+1)=B\cdot 3\cdot 2=6B,
logo
B=-\tfrac{1}{6}.
  • Para x=-1 só permanece o termo com C:
(-1)-2=-3 = C((-1)+2)((-1)-1)=C\cdot 1\cdot(-2)=-2C,
logo
C=\tfrac{3}{2}.
Podemos, se desejar, verificar expandindo a expressão com esses A,B,C que o numerador se reduz a x-2; mas os cálculos acima já fornecem os valores corretos.

Passo 5

Substituindo a decomposição na integral obtemos
\int \frac{x-2}{x^{3}+2x^{2}-x-2}\,dx =\int\left(\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}\right)\,dx.
Com os valores encontrados A=-\tfrac{4}{3}, B=-\tfrac{1}{6}, C=\tfrac{3}{2}, isto é
\int\left(-\tfrac{4}{3}\cdot\frac{1}{x+2}-\tfrac{1}{6}\cdot\frac{1}{x-1}+\tfrac{3}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\right)\,dx.
Agora usamos a fórmula básica para integrar \dfrac{1}{x-a}:
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+{\rm const},
porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Aplicando termo a termo:
\int \frac{x-2}{x^{3}+2x^{2}-x-2}\,dx =-\tfrac{4}{3}\ln|x+2|-\tfrac{1}{6}\ln|x-1|+\tfrac{3}{2}\ln|x+1|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Se quiser uma forma compacta usando uma única logarítmica (opcional), pode-se combinar os logaritmos:
-\tfrac{4}{3}\ln|x+2|-\tfrac{1}{6}\ln|x-1|+\tfrac{3}{2}\ln|x+1|+C =\ln\!\left(\frac{|x+1|^{3/2}}{|x+2|^{4/3}\,|x-1|^{1/6}}\right)+C',
com C' ajustada, mas a forma em soma de logaritmos com coeficientes fracionários é mais direta para provas e cálculos.

Resposta

-\tfrac{4}{3}\ln|x+2|-\tfrac{1}{6}\ln|x-1|+\tfrac{3}{2}\ln|x+1|+C

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