Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais:
\int \frac{x+1}{x^{2}(x+2)(x-2)} d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x+1}{x^{2}(x+2)(x-2)}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é uma função racional dada por \dfrac{x+1}{x^{2}(x+2)(x-2)}.
  • O denominador fatorou-se em fatores lineares, com um fator repetido: x^{2}, (x+2) e (x-2).
  • A questão pede explicitamente usar frações parciais, então a ideia é decompor a função em somatório de parcelas simples e integrar termo a termo.

Passo 2

Montar a decomposição em frações parciais apropriada.
Regras práticas rápidas (sem provar aqui): para cada fator linear simples (x-a) aparece uma parcela \dfrac{\text{constante}}{x-a}; para um fator linear repetido x^{2} aparecem parcelas \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}. Portanto propõe-se a decomposição
\frac{x+1}{x^{2}(x+2)(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{x-2},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 3

Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por x^{2}(x+2)(x-2). Obtém-se a identidade polinomial
x+1 = A\;x(x+2)(x-2) + B\;(x+2)(x-2) + C\;x^{2}(x-2) + D\;x^{2}(x+2).
Agora usamos valores estratégicos de x (raízes dos fatores) para encontrar rapidamente alguns coeficientes.
Tomando x=0:
0+1 = B\cdot(0+2)(0-2) = B\cdot(2)(-2) = -4B,
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B = -\frac{1}{4}.
Tomando x=-2:
-2+1 = -1 = C\cdot(-2)^{2}(-2-2) = C\cdot 4\cdot(-4) = -16C,
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C = \frac{1}{16}.
Tomando x=2:
2+1 = 3 = D\cdot 2^{2}(2+2) = D\cdot 4\cdot 4 = 16D,
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D = \frac{3}{16}.

Passo 4

Falta A. Para encontrá-lo, substitui-se um valor conveniente de x que não anule todos os termos; por exemplo x=1.
Com x=1 na identidade
1+1 = 2 = A\cdot 1\cdot(1+2)(1-2) + B\cdot(1+2)(1-2) + C\cdot1^{2}(1-2) + D\cdot1^{2}(1+2).
Calculando cada parcela usando os valores já obtidos B=-\tfrac{1}{4}, C=\tfrac{1}{16}, D=\tfrac{3}{16}:
2 = A\cdot(1\cdot 3\cdot -1) + (-\tfrac{1}{4})\cdot(3\cdot -1) + \tfrac{1}{16}\cdot(-1) + \tfrac{3}{16}\cdot 3.
Simplificando os termos numéricos:
2 = -3A + \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{16} + \tfrac{9}{16}.
Calcule -\tfrac{1}{16}+\tfrac{9}{16}=\tfrac{8}{16}=\tfrac{1}{2} e \tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{4}. Assim
2 = -3A + \tfrac{5}{4} \quad\Rightarrow\quad -3A = 2-\tfrac{5}{4} = \tfrac{3}{4},
portanto
A = -\frac{1}{4}.
Resumo dos coeficientes:
A=-\frac{1}{4},\qquad B=-\frac{1}{4},\qquad C=\frac{1}{16},\qquad D=\frac{3}{16}.

Passo 5

Reescrever a integral como soma das parcelas e integrar termo a termo.
A decomposição encontrada é
\frac{x+1}{x^{2}(x+2)(x-2)} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x} -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x+2} + \frac{3}{16}\cdot\frac{1}{x-2}.
Portanto
\int \frac{x+1}{x^{2}(x+2)(x-2)}\,dx = \int\!\left(-\frac{1}{4}\frac{1}{x} -\frac{1}{4}\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}\frac{1}{x+2} + \frac{3}{16}\frac{1}{x-2}\right)\,dx.
Recordando as integrais elementares que vamos usar:
  • Para n\neq -1 vale \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C. Em particular, para n=-2 temos \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x} + C.
  • Para x\neq 0, \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • Para constantes a, \displaystyle \int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln|x+a| + C.
Aplicando termo a termo:
  • \displaystyle \int -\frac{1}{4}\frac{1}{x}\,dx = -\frac{1}{4}\ln|x|.
  • \displaystyle \int -\frac{1}{4}\frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{4x}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{16}\frac{1}{x+2}\,dx = \frac{1}{16}\ln|x+2|.
  • \displaystyle \int \frac{3}{16}\frac{1}{x-2}\,dx = \frac{3}{16}\ln|x-2|.

Passo 6

Somando as primitivas dos termos obtemos a primitiva geral (mais a constante de integração C):
-\frac{1}{4}\ln|x| + \frac{1}{4x} + \frac{1}{16}\ln|x+2| + \frac{3}{16}\ln|x-2| + C.

Resposta

-\dfrac{1}{4}\ln|x|+\dfrac{1}{4x}+\dfrac{1}{16}\ln|x+2|+\dfrac{3}{16}\ln|x-2|+C

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