Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é uma função racional dada por
. - O denominador fatorou-se em fatores lineares, com um fator repetido:
, e . - A questão pede explicitamente usar frações parciais, então a ideia é decompor a função em somatório de parcelas simples e integrar termo a termo.
Passo 2
Montar a decomposição em frações parciais apropriada.
Regras práticas rápidas (sem provar aqui): para cada fator linear simples
aparece uma parcela
; para um fator linear repetido
aparecem parcelas
. Portanto propõe-se a decomposição
onde
são constantes a determinar.
Passo 3
Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por
. Obtém-se a identidade polinomial
Agora usamos valores estratégicos de
(raízes dos fatores) para encontrar rapidamente alguns coeficientes.
Tomando
:
logo
Tomando
:
logo
Tomando
:
logo
Passo 4
Falta
. Para encontrá-lo, substitui-se um valor conveniente de
que não anule todos os termos; por exemplo
.
Com
na identidade
Calculando cada parcela usando os valores já obtidos
,
,
:
Simplificando os termos numéricos:
Calcule
e
. Assim
portanto
Resumo dos coeficientes:
Passo 5
Reescrever a integral como soma das parcelas e integrar termo a termo.
A decomposição encontrada é
Portanto
Recordando as integrais elementares que vamos usar:
- Para
vale . Em particular, para temos . - Para
, . - Para constantes
, .
Aplicando termo a termo:
-
. -
. -
. -
.
Passo 6
Somando as primitivas dos termos obtemos a primitiva geral (mais a constante de integração
):