Uma pedra contém dois isótopos radioativos, R A_{1} e R A_{2}, que pertencem à mesma série radioativa; ou seja, R A_{1} decai para R A_{2}, que então decai para átomos estáveis. Suponha que a taxa em que R A_{1} decai para R A_{2} seja 50 e^{-10 t} \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Como a taxa de decaimento de R A_{2} é proporcional à massa y(t) de R A_{2} presente, a taxa de mudança em R A_{2} é
\begin{gathered} \frac{d y}{d t}=\text { taxa de criação - taxa de decaimento } \\\ \frac{d y}{d t}=50 e^{-10 t}-k y \end{gathered}çã
Onde k>0 é a constante de decaimento. Se k=2 / s e inicialmente y(0)= 40 kg . Encontre a massa y(t) de R A_{2} para t \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a massa y(t) do isótopo R A_{2} para t\ge 0. As informações dadas são:
  • A equação diferencial que descreve a variação da massa é
\frac{d y}{d t}=50 e^{-10 t}-k y.
  • A constante de decaimento é k=\dfrac{2}{\text{s}}.
  • Condição inicial: y(0)=40 kg.
  • Queremos y(t) para t\ge0.

Passo 2

Identificar a forma da equação e o método mais direto.
A equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear não homogênea. A forma padrão é
\frac{d y}{d t} + k y = 50 e^{-10 t}.
Um método direto e eficiente para resolver equações desse tipo é o fator integrante (integrating factor). Vou explicar isso de forma simples: multiplica-se a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(t)y(t). Assim, integra-se facilmente ambos os lados.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão explicitamente com k=2:
\frac{d y}{d t} + 2 y = 50 e^{-10 t}.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(t). O fator integrante é definido por
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.
Explicação rápida: escolhemos \mu(t)=e^{\int k\,dt} porque então \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)\dfrac{dy}{dt}+\mu'(t)y(t)=\mu(t)\big(\dfrac{dy}{dt}+k y\big).

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(t)=e^{2t}. O lado esquerdo vira a derivada do produto:
e^{2t}\left(\frac{d y}{d t} + 2 y\right)=\frac{d}{dt}\big(e^{2t}y\big).
Assim a equação transformada é
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}y\big)=50 e^{2t} e^{-10 t}.

Passo 6

Simplificar o lado direito e integrar. Primeiro combine os exponenciais:
50 e^{2t} e^{-10t}=50 e^{-8t}.
Agora integramos ambos os lados em t:
\int \frac{d}{dt}\big(e^{2t}y\big)\,dt = \int 50 e^{-8t}\,dt.
No lado esquerdo a integral anula a derivada, ficando e^{2t}y. No lado direito, integrar 50 e^{-8t}:
\int 50 e^{-8t}\,dt = 50\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)e^{-8t} + C = -\frac{50}{8} e^{-8t} + C = -\frac{25}{4} e^{-8t} + C,
onde C é a constante de integração.
Portanto
e^{2t}y(t) = -\frac{25}{4} e^{-8t} + C.

Passo 7

Isolar y(t) dividindo por e^{2t}:
y(t) = -\frac{25}{4} e^{-8t} e^{-2t} + C e^{-2t} = -\frac{25}{4} e^{-10t} + C e^{-2t}.
Reescrevendo de forma mais agradável:
y(t) = C e^{-2t} - \frac{25}{4} e^{-10t}.

Passo 8

Determinar a constante C usando a condição inicial y(0)=40. Substituindo t=0:
y(0)=C e^{0} - \frac{25}{4} e^{0} = C - \frac{25}{4} = 40.
Logo
C = 40 + \frac{25}{4} = \frac{160}{4} + \frac{25}{4} = \frac{185}{4}.

Passo 9

Substituir C na expressão geral para obter a solução final:
y(t) = \frac{185}{4} e^{-2t} - \frac{25}{4} e^{-10t},\qquad t\ge0.
Comentário intuitivo rápido: a solução é soma de dois termos exponenciais; o termo com e^{-10t} corresponde diretamente à taxa de entrada (decai rápido), e o termo com e^{-2t} representa a resposta do isótopo R A_{2} ao acúmulo inicial e ao acoplamento com o decaimento.

Resposta

y(t)=\frac{185}{4}e^{-2t}-\frac{25}{4}e^{-10t},\quad t\ge0.

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