Uma pedra contém dois isótopos radioativos,
e
, que pertencem à mesma série radioativa; ou seja,
decai para
, que então decai para átomos estáveis. Suponha que a taxa em que
decai para
seja
. Como a taxa de decaimento de
é proporcional à massa
de
presente, a taxa de mudança em
é
Onde
é a constante de decaimento. Se
e inicialmente
40 kg . Encontre a massa
de
para
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a massa
do isótopo
para
. As informações dadas são:
- A equação diferencial que descreve a variação da massa é
- A constante de decaimento é
. - Condição inicial:
kg. - Queremos
para .
Passo 2
Identificar a forma da equação e o método mais direto.
A equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear não homogênea. A forma padrão é
Um método direto e eficiente para resolver equações desse tipo é o fator integrante (integrating factor). Vou explicar isso de forma simples: multiplica-se a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Assim, integra-se facilmente ambos os lados.
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão explicitamente com
:
Passo 4
Calcular o fator integrante
. O fator integrante é definido por
Explicação rápida: escolhemos
porque então
.
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. O lado esquerdo vira a derivada do produto:
Assim a equação transformada é
Passo 6
Simplificar o lado direito e integrar. Primeiro combine os exponenciais:
Agora integramos ambos os lados em
:
No lado esquerdo a integral anula a derivada, ficando
. No lado direito, integrar
:
onde
é a constante de integração.
Portanto
Passo 7
Isolar
dividindo por
:
Reescrevendo de forma mais agradável:
Passo 8
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Substituindo
:
Logo
Passo 9
Substituir
na expressão geral para obter a solução final:
Comentário intuitivo rápido: a solução é soma de dois termos exponenciais; o termo com
corresponde diretamente à taxa de entrada (decai rápido), e o termo com
representa a resposta do isótopo
ao acúmulo inicial e ao acoplamento com o decaimento.