Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais:
\int \frac{x+7}{(x+2)^{2}(x+1)(x-1)} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral usando frações parciais:
\int \frac{x+7}{(x+2)^{2}(x+1)(x-1)}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • Integrando é a função racional \dfrac{x+7}{(x+2)^{2}(x+1)(x-1)}.
  • O denominador fatorou-se em fatores lineares reais, com um fator repetido (x+2)^{2}.
  • Pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função usando decomposição em frações parciais.

Passo 2

Ideia e forma da decomposição (sem resolver ainda).
Quando se tem uma fração racional própria (grau do numerador menor que o do denominador) e o denominador fatorado em fatores lineares com repetição, a forma da decomposição é a soma de termos do tipo constante sobre cada fator simples e termos para cada potência do fator repetido. Aqui o denominador é (x+2)^{2}(x+1)(x-1), logo tentamos a decomposição
\frac{x+7}{(x+2)^{2}(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^{2}}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x-1},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
Explicação curta do porquê dessa forma:
  • Para cada fator linear distinto (x-a) aparece um termo \dfrac{\text{constante}}{x-a}.
  • Para um fator repetido (x-a)^k aparecem termos com todas as potências do denominador até k: \dfrac{\text{constante}_1}{x-a}+\dfrac{\text{constante}_2}{(x-a)^2}+\dots.

Passo 3

Determinação das constantes A,B,C,D.
Multiplicando a identidade pela expressão (x+2)^{2}(x+1)(x-1) obtemos a identidade polinomial
x+7 = A(x+2)(x+1)(x-1) + B(x+1)(x-1) + C(x+2)^{2}(x-1) + D(x+2)^{2}(x+1).
Agora usamos valores convenientes de x para eliminar termos e achar B,C,D rapidamente.
  • Para x=-2:
(-2)+7=5 = B((-2)+1)((-2)-1) = B\cdot(-1)\cdot(-3)=3B,
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B=\frac{5}{3}.
  • Para x=-1:
(-1)+7=6 = C((-1)+2)^{2}((-1)-1) = C\cdot 1^{2}\cdot(-2) = -2C,
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C=-3.
  • Para x=1:
1+7=8 = D((1)+2)^{2}((1)+1) = D\cdot 3^{2}\cdot 2 = 18D,
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D=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}.
Falta A. Podemos usar um valor simples, por exemplo x=0, ou comparar coeficientes. Usando x=0:
0+7=7 = A(2)(1)(-1) + B(1)(-1) + C(2)^{2}(-1) + D(2)^{2}(1).
Substituindo B,C,D:
7 = -2A -B -4C +4D.
Agora substituindo os valores numéricos \;B=\dfrac{5}{3},\; C=-3,\; D=\dfrac{4}{9}:
7 = -2A -\frac{5}{3} -4(-3) +4\cdot\frac{4}{9}.
Calcule passo a passo:
-4(-3)=12,\qquad 4\cdot\frac{4}{9}=\frac{16}{9}.
Então
7 = -2A -\frac{5}{3} +12 +\frac{16}{9}.
Juntando termos constantes em um denominador comum (9):
7 = -2A + \frac{-15 +108 +16}{9} = -2A + \frac{109}{9}.
Passando o termo constante para o outro lado:
-2A = 7 - \frac{109}{9} = \frac{63}{9}-\frac{109}{9} = -\frac{46}{9}.
Logo
A = \frac{23}{9}.
Recapitulando as constantes encontradas:
A=\frac{23}{9},\qquad B=\frac{5}{3},\qquad C=-3,\qquad D=\frac{4}{9}.

Passo 4

Reescrever a integral como soma de termos simples e integrar termo a termo.
Com os coeficientes obtidos temos
\frac{x+7}{(x+2)^{2}(x+1)(x-1)} = \frac{23/9}{x+2} + \frac{5/3}{(x+2)^{2}} - \frac{3}{x+1} + \frac{4/9}{x-1}.
Agora integramos cada termo separadamente. Fórmulas que usamos:
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln|x+a| + C.
    Explicação: derivada de \ln|x+a| é \dfrac{1}{x+a}.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{(x+a)^{2}}\,dx = \int (x+a)^{-2}\,dx = - (x+a)^{-1} + C = -\frac{1}{x+a}+C.
    Explicação: basta aplicar a regra da potência para (x+a)^{n}.
Integrando termo a termo:
\int \frac{23/9}{x+2}\,dx = \frac{23}{9}\ln|x+2|,
\int \frac{5/3}{(x+2)^{2}}\,dx = \frac{5}{3}\left(-\frac{1}{x+2}\right) = -\frac{5}{3(x+2)},
\int \left(-\frac{3}{x+1}\right)\,dx = -3\ln|x+1|,
\int \frac{4/9}{x-1}\,dx = \frac{4}{9}\ln|x-1|.
Somando todas as parcelas e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Passo 5

Colocando tudo junto, a antiderivada é
\frac{23}{9}\ln|x+2| - \frac{5}{3(x+2)} - 3\ln|x+1| + \frac{4}{9}\ln|x-1| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{23}{9}\ln|x+2| - \frac{5}{3(x+2)} - 3\ln|x+1| + \frac{4}{9}\ln|x-1| + C

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