Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral usando frações parciais:
Informações dadas e objetivo:
- Integrando é a função racional
. - O denominador fatorou-se em fatores lineares reais, com um fator repetido
. - Pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função usando decomposição em frações parciais.
Passo 2
Ideia e forma da decomposição (sem resolver ainda).
Quando se tem uma fração racional própria (grau do numerador menor que o do denominador) e o denominador fatorado em fatores lineares com repetição, a forma da decomposição é a soma de termos do tipo constante sobre cada fator simples e termos para cada potência do fator repetido. Aqui o denominador é
, logo tentamos a decomposição
onde
são constantes a determinar.
Explicação curta do porquê dessa forma:
- Para cada fator linear distinto
aparece um termo . - Para um fator repetido
aparecem termos com todas as potências do denominador até : .
Passo 3
Determinação das constantes
.
Multiplicando a identidade pela expressão
obtemos a identidade polinomial
Agora usamos valores convenientes de
para eliminar termos e achar
rapidamente.
- Para
:
logo
- Para
:
logo
- Para
:
logo
Falta
. Podemos usar um valor simples, por exemplo
, ou comparar coeficientes. Usando
:
Substituindo
:
Agora substituindo os valores numéricos
:
Calcule passo a passo:
Então
Juntando termos constantes em um denominador comum (9):
Passando o termo constante para o outro lado:
Logo
Recapitulando as constantes encontradas:
Passo 4
Reescrever a integral como soma de termos simples e integrar termo a termo.
Com os coeficientes obtidos temos
Agora integramos cada termo separadamente. Fórmulas que usamos:
- Para
.
Explicação: derivada deé . - Para
.
Explicação: basta aplicar a regra da potência para.
Integrando termo a termo:
Somando todas as parcelas e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva.
Passo 5
Colocando tudo junto, a antiderivada é
onde
é a constante de integração.