Calcule as seguintes integrais, utilizando o método de frações parciais:
\int \frac{x-5}{(x+2)^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x-5}{(x+2)^{2}}\,dx
usando o método de frações parciais. O conteúdo aqui é integrar uma função racional cujo denominador é uma potência de (x+2). Para isso, vamos decompor o numerador em termos de frações mais simples e então integrar cada parcela separadamente.

Passo 2

Propondo a decomposição
\frac{x-5}{(x+2)^{2}} =\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^{2}},
multiplicamos ambos os lados por (x+2)^{2} para encontrar A e B:
x-5 = A(x+2) + B.

Passo 3

Agora basta comparar coeficientes em x-5 = A x + 2A + B.
Pelo termo em x vem
A = 1,
e pelo termo independente vem
2A + B = -5 \quad\Longrightarrow\quad 2\cdot1 + B = -5 \quad\Longrightarrow\quad B = -7.

Passo 4

Substituindo A e B de volta, temos
\frac{x-5}{(x+2)^{2}} =\frac{1}{x+2}-\frac{7}{(x+2)^{2}}.
Então a integral se separa em
\int \frac{x-5}{(x+2)^{2}}\,dx =\int \frac{1}{x+2}\,dx -7\int \frac{1}{(x+2)^{2}}\,dx.
Sabendo que
\int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln\bigl|x+2\bigr| \quad\text{e}\quad \int (x+2)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x+2},
vem
\int \frac{x-5}{(x+2)^{2}}\,dx =\ln\bigl|x+2\bigr| -7\Bigl(-\frac{1}{x+2}\Bigr) + C =\ln\bigl|x+2\bigr| +\frac{7}{x+2} + C.

Resposta

\int \frac{x-5}{(x+2)^{2}}\,dx =\ln\bigl|x+2\bigr| +\frac{7}{x+2} + C.

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