Calcule as seguintes integrais, utilizando o método de frações parciais:
\int \frac{2}{x^{2}-1} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{2}{x^{2}-1}\,dx
usando o método de frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador x^{2}-1, decompor a função racional em parcelas simples e então integrar cada termo.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1), obtemos
2 = A(x+1) + B(x-1).

Passo 3

Para achar A e B, podemos usar valores estratégicos de x.
Se x=1, então
2 = A(1+1) + B(1-1) \quad\Longrightarrow\quad 2 = 2A \quad\Longrightarrow\quad A = 1.
Se x=-1, então
2 = A(-1+1) + B(-1-1) \quad\Longrightarrow\quad 2 = -2B \quad\Longrightarrow\quad B = -1.
Logo,
\frac{2}{x^{2}-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{2}{x^{2}-1}\,dx = \int \frac{1}{x-1}\,dx \;-\; \int \frac{1}{x+1}\,dx.
Sabemos que \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln\bigl|x-a\bigr| + C. Assim,
\int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\bigl|x-1\bigr|,\qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\bigl|x+1\bigr|.

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
\int \frac{2}{x^{2}-1}\,dx = \ln\bigl|x-1\bigr| \;-\; \ln\bigl|x+1\bigr| + C = \ln\!\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr| + C.

Resposta

\ln\!\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr| + C

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