Calcule as seguintes integrais utilizando o método da substituição:
integral 2 x e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral de 2x e^x^2 dx usando o método da substituição. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais que requerem substituição para serem resolvidas. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observando a expressão, notamos que temos x^2 no expoente e também um 2x multiplicando. Isso sugere que podemos deixar u = x^2.

Passo 3

Com u = x^2, precisamos encontrar du. Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
du = 2x , dx
Isso é ótimo porque exatamente temos um 2x , dx na nossa integral original!

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de u. Substituindo u = x^2 e du = 2x , dx, a integral fica:
integral e^u , du
Ela se simplificou bastante!

Passo 5

Integrando e^u em relação a u, sabemos que a integral de e^u é simplesmente e^u + C, onde C é a constante de integração.
integral e^u , du = e^u + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original x. Lembrando que u = x^2, substituímos de volta:
e^u + C = e^x^2 + C

Resposta

A integral de 2x e^x^2 dx é e^x^2 + C.

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