Em uma empresa, o custo, em reais, para produzir q unidades de televisores é dado por:
C(q)=0,02 q^3-6 q^2+900 q+1000
Obtenha a função custo marginal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre custos de produção em uma empresa que fabrica televisores. A gente precisa encontrar a função custo marginal, que é basicamente o custo adicional para produzir mais uma unidade. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função de custo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função de custo que foi dada:
C(q) = 0,02 q^3 - 6 q^2 + 900 q + 1000
Aqui, $ q $ representa a quantidade de televisores produzidos.

Passo 3

A função custo marginal é obtida calculando a derivada da função de custo em relação a $ q $. A derivada nos dá a taxa de variação do custo conforme a quantidade produzida aumenta.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de cada termo da função $ C(q) $:
  • A derivada de $ 0,02 q^{3} $ é $ 0,06 q^{2} $ (usando a regra do poder: multiplicamos o coeficiente pelo expoente e diminuímos o expoente em 1).
  • A derivada de $ -6 q^{2} $ é $ -12 q $.
  • A derivada de $ 900 q $ é $ 900 $.
  • A derivada de uma constante, como $ 1000 $, é $ 0 $.

Passo 5

Agora, somamos todas as derivadas que calculamos:
C'(q) = 0,06 q^2 - 12 q + 900

Resposta

A função custo marginal é:
C'(q) = 0,06 q^2 - 12 q + 900

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