Seja f(t) uma função contínua e periódica de período T no intervalo [0, infty). Mostre que
Lf(t)=11-e^-s T integral0^T e^-s t f(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformar de Laplace de uma função contínua e periódica com período $ T $. O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace e propriedades de funções periódicas. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a definição da Transformada de Laplace e usar a periodicidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função $ f(t) $ do domínio do tempo para o domínio da frequência, usando a fórmula:
f(t)

Passo 3

Como a função $ f(t) $ é periódica com período $ T $, isso significa que:
f(t)
Isso nos permite dividir a integral da Transformada de Laplace em intervalos de $ T $.

Passo 4

Vamos dividir a integral de $ 0 $ até $ \infty $ em somas de integrais de $ T $ em $ T $:
0

Passo 5

Fazemos uma mudança de variável na integral. Seja $ t = k T + \tau $, onde $ \tau $ varia de $ 0 $ a $ T $. Assim, a integral fica:
t = k T + tau
Isso vale porque $ f(t) = f(\tau) $ devido à periodicidade.

Passo 6

Substituindo de volta na soma, temos:
Lf(t) = sumk=0^infty e^-s k T integral0^T e^-s tau f(tau) , dtau = ( integral0^T e^-s t f(t) , dt ) sumk=0^infty e^-s k T

Passo 7

A soma infinita que aparece é uma série geométrica:
sumk=0^infty e^-s k T = 11 - e^-s T (válida para |e^-s T| < 1) á

Passo 8

Multiplicando a integral pela soma da série geométrica, chegamos a:
Lf(t) = 11 - e^-s T integral0^T e^-s t f(t) , dt

Resposta

Portanto, mostramos que para uma função contínua e periódica $ f(t) $ com período $ T $, a Transformada de Laplace é dada por:
f(t)

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