Seja
uma função contínua e periódica de período
no intervalo
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformar de Laplace de uma função contínua e periódica com período $ T $. O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace e propriedades de funções periódicas. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a definição da Transformada de Laplace e usar a periodicidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função $ f(t) $ do domínio do tempo para o domínio da frequência, usando a fórmula:
Passo 3
Como a função $ f(t) $ é periódica com período $ T $, isso significa que:
Isso nos permite dividir a integral da Transformada de Laplace em intervalos de $ T $.
Passo 4
Vamos dividir a integral de $ 0 $ até $ \infty $ em somas de integrais de $ T $ em $ T $:
Passo 5
Fazemos uma mudança de variável na integral. Seja $ t = k T + \tau $, onde $ \tau $ varia de $ 0 $ a $ T $. Assim, a integral fica:
Isso vale porque $ f(t) = f(\tau) $ devido à periodicidade.
Passo 6
Substituindo de volta na soma, temos:
Passo 7
A soma infinita que aparece é uma série geométrica:
Passo 8
Multiplicando a integral pela soma da série geométrica, chegamos a:
Resposta
Portanto, mostramos que para uma função contínua e periódica $ f(t) $ com período $ T $, a Transformada de Laplace é dada por: