Nas questões abaixo, encontre as derivadas das funções:
y=(3 x^2-5 x+2)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ y = \left(3x^{2} - 5x + 2\right)^{4} $. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, especificamente a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Vamos precisar aplicar essa regra para encontrar a derivada dessa função polinomial elevada à quarta potência.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função que se encaixam na Regra da Cadeia. Podemos pensar na nossa função como $ y = \left(u\right)^{4} $, onde $ u = 3x^{2} - 5x + 2 $. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é a derivada de $ y $ em relação a $ u $ multiplicada pela derivada de $ u $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ u $. Como $ y = u^{4} $, a derivada é:
y

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $. Sabemos que $ u = 3x^{2} - 5x + 2 $, então derivando termo a termo:
u

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
dydx = dydu cdot dudx = 4u^3 cdot (6x - 5)

Passo 6

Lembrando que $ u = 3x^{2} - 5x + 2 $, substituímos de volta na expressão:
u = 3x^2 - 5x + 2

Resposta

A derivada da função $ y = \left(3x^{2} - 5x + 2\right)^{4} $ é:
y = (3x^2 - 5x + 2)^4

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