Calcule as seguintes integrais, utilizando o método da Substituição Trigonométrica:
\int \frac{d x}{\sqrt{5-7 x-3 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{5 - 7x - 3x^{2}}}
utilizando o método de substituição trigonométrica. Vamos reconhecer que sob a raiz temos um polinômio quadrático, completar o quadrado e em seguida usar uma substituição do tipo x\mapsto \sin\theta ou x\mapsto \cos\theta.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em
5 - 7x - 3x^{2}.
Escrevemos
5 - 7x - 3x^{2} = -3\Bigl(x^{2} + \tfrac{7}{3}x - \tfrac{5}{3}\Bigr).
Dentro do colchete,
x^{2} + \tfrac{7}{3}x = \bigl(x + \tfrac{7}{6}\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac{7}{6}\bigr)^{2} = \bigl(x + \tfrac{7}{6}\bigr)^{2} - \tfrac{49}{36},
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x^{2} + \tfrac{7}{3}x - \tfrac{5}{3} = \bigl(x + \tfrac{7}{6}\bigr)^{2} - \tfrac{49}{36} - \tfrac{60}{36} = \bigl(x + \tfrac{7}{6}\bigr)^{2} - \tfrac{109}{36}.
Portanto
5 - 7x - 3x^{2} = -3\Bigl[\bigl(x + \tfrac{7}{6}\bigr)^{2} - \tfrac{109}{36}\Bigr] = \tfrac{109}{12} - 3\bigl(x + \tfrac{7}{6}\bigr)^{2}.

Passo 3

Para usar substituição trigonométrica, note que
\tfrac{109}{12} - 3\bigl(x + \tfrac{7}{6}\bigr)^{2} = \tfrac{109}{12}\Bigl[1 - \tfrac{3\,(x+7/6)^{2}}{109/12}\Bigr] = \tfrac{109}{12}\bigl[1 - \sin^{2}\theta\bigr]
se fizermos
x + \tfrac{7}{6} = \frac{\sqrt{109/12}}{\sqrt{3}}\;\sin\theta = \frac{\sqrt{109}}{6}\,\sin\theta.
Então definimos
x + \tfrac{7}{6} = \frac{\sqrt{109}}{6}\,\sin\theta.

Passo 4

Diferenciando, obtemos
dx = \frac{\sqrt{109}}{6}\,\cos\theta\,d\theta.
Além disso, a raiz fica
\sqrt{5 - 7x - 3x^{2}} = \sqrt{\tfrac{109}{12} - 3\bigl(x+\tfrac{7}{6}\bigr)^{2}} = \sqrt{\tfrac{109}{12}\cos^{2}\theta} = \frac{\sqrt{109}}{2\sqrt{3}}\;\cos\theta.
Assim o integrando transforma-se em
\frac{dx}{\sqrt{5 - 7x - 3x^{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{109}}{6}\cos\theta\,d\theta}{\frac{\sqrt{109}}{2\sqrt{3}}\cos\theta} = \frac{2\sqrt{3}}{6}\,d\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}\,d\theta.

Passo 5

A integral em \theta é imediata:
\int \frac{\sqrt{3}}{3}\,d\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}\,\theta + C.

Passo 6

Falta voltar à variável x. Da substituição
\sin\theta = \frac{6(x+7/6)}{\sqrt{109}} = \frac{6x+7}{\sqrt{109}},
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\theta = \arcsin\!\Bigl(\frac{6x+7}{\sqrt{109}}\Bigr).
Substituindo em \tfrac{\sqrt{3}}{3}\,\theta, obtemos

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{5 - 7x - 3x^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{6x+7}{\sqrt{109}}\Bigr) + C.

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