Calcule as seguintes integrais utilizando o Teorema de Green:
integralc x y d x-x^2 d y, onde C é o retângulo de vértices (0,0),(0,1),(3,1) e (3,0).
(I=-272 m^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC x y,dx - x^2,dy sobre o retângulo de vértices (0,0),(0,1),(3,1),(3,0), usando o Teorema de Green. O conteúdo é cálculo vetorial em plano (Teorema de Green) e vamos precisar das derivadas parciais de P e Q e de uma integral dupla sobre a região.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=xy e Q(x,y)=-x^2. O Teorema de Green diz que ointC P,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Q/partial x-partial P/partial yr),dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=partial(-x^2)partial x=-2x, partial Ppartial y=partial(xy)partial y=x
Logo, o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y=-2x - x=-3x

Passo 4

Agora fazemos a integral dupla sobre o retângulo D=[0,3]times[0,1]:
integral duplaD(-3x),dA =-3integraly=0^1integralx=0^3 x,dx,dy

Passo 5

Resolvendo em x e depois em y:
integralx=0^3 x,dx=x^22|0^3=92,
integraly=0^1dy=1
Logo
ointC xy,dx - x^2,dy=-3cdot92cdot1=-272

Resposta

-\frac{27}{2}

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