Mostre que é conservativo e encontre sua função potencial.
[
\left(\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=e^{x} \cos y+x y z+\frac{z^{2}}{2}+C\right)

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z) = (e^xcos y + y z),i + (x z - e^xsin y),j + (x y + z),k. O objetivo é mostrar que ele é conservativo (ou seja, existe uma função potencial f com nabla f = F) e encontrar essa f(x,y,z). Vamos usar cálculo vetorial (rotor) e integração.

Passo 2

Primeiro, para verificar que F é conservativo em R^3 (domínio simplesmente conexo), calculamos o rotor:
nablatimesF = (partialpartial y(x y + z) - partialpartial z(x z - e^xsin y))i + (partialpartial z(e^xcos y + y z) - partialpartial x(x y + z))j + (partialpartial x(x z - e^xsin y) - partialpartial y(e^xcos y + y z))k
Agora cada componente:

Passo 3

  • Componente i:
partialpartial y(x y + z) = x, partialpartial z(x z - e^xsin y) = x,
logo x - x = 0.

Passo 4

  • Componente j:
partialpartial z(e^xcos y + y z) = y, partialpartial x(x y + z) = y,
logo y - y = 0.

Passo 5

  • Componente k:
partialpartial x(x z - e^xsin y) = z - e^xsin y, partialpartial y(e^xcos y + y z) = -e^xsin y + z,
logo (z - e^xsin y) - (-e^xsin y + z) = 0.

Passo 6

Como todas as componentes do rotor são zero e o domínio é simplesmente conexo, F é conservativo.

Passo 7

Para achar a função potencial f(x,y,z), integramos a primeira componente P = e^xcos y + y z em relação a x:
f(x,y,z) = integral (e^xcos y + y z),dx = e^xcos y + x y z + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função a determinar.

Passo 8

Diferenciando f em relação a y e igualando à segunda componente Q = x z - e^xsin y:
partial fpartial y = -e^xsin y + x z + partial hpartial y = x z - e^xsin y
Daí partial h/partial y = 0, ou seja h(y,z) = g(z).

Passo 9

Agora diferenciamos f em relação a z e igualamos à terceira componente R = x y + z:
partial fpartial z = x y + g'(z) = x y + z
Daqui g'(z) = z, logo
g(z) = z^22 + C

Passo 10

Portanto, a função potencial é

Passo 11

f(x,y,z) = e^xcos y + x y z + z^22 + C

Resposta

f(x,y,z)=e^xcos y + x y z + tfracz^22+C

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