Mostre que
é conservativo e encontre sua função potencial.
[
\left(\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=e^{x} \cos y+x y z+\frac{z^{2}}{2}+C\right)
\left(\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=e^{x} \cos y+x y z+\frac{z^{2}}{2}+C\right)
Passo 1
Temos o campo vetorial
. O objetivo é mostrar que ele é conservativo (ou seja, existe uma função potencial
com
) e encontrar essa
. Vamos usar cálculo vetorial (rotor) e integração.
Passo 2
Primeiro, para verificar que
é conservativo em
(domínio simplesmente conexo), calculamos o rotor:
Agora cada componente:
Passo 3
- Componente
:
logo
.
Passo 4
- Componente
:
logo
.
Passo 5
- Componente
:
logo
.
Passo 6
Como todas as componentes do rotor são zero e o domínio é simplesmente conexo,
é conservativo.
Passo 7
Para achar a função potencial
, integramos a primeira componente
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 8
Diferenciando
em relação a
e igualando à segunda componente
:
Daí
, ou seja
.
Passo 9
Agora diferenciamos
em relação a
e igualamos à terceira componente
:
Daqui
, logo
Passo 10
Portanto, a função potencial é