Soit f une fonction continue sur [a, b]. Montrer qu’il existe c in] a, b[ tel que
integrala^b f(t) d t=f(c)

Passo 1

On a une fonction continue f sur l’intervalle fermé [a,b] et on veut montrer qu’il existe cin(a,b) tel que integrala^b f(t),dt = f(c),(b-a). Le résultat qu’on va utiliser s’appelle le théorème des accroissements finis pour les intégrales (ou théorème de la valeur moyenne pour les intégrales).

Passo 2

Comme f est continue sur le compact [a,b], elle atteint son minimum et son maximum sur cet intervalle (théorème des valeurs extrêmes). On pose
m = mintin[a,b] f(t), M = maxtin[a,b] f(t)

Passo 3

Pour tout tin[a,b], on a m <= f(t) <= M. En intégrant ces inégalités de t=a à t=b et en utilisant la propriété de monotonie de l’intégrale, on obtient :
m,(b-a) ;<=; integrala^b f(t),dt ;<=; M,(b-a)

Passo 4

Comme b-a>0, on peut diviser par (b-a) :
m ;<=; 1b-aintegrala^b f(t),dt ;<=; M

Passo 5

Or f étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires nous assure qu’il existe cin[a,b] tel que
f(c) = 1b-aintegrala^b f(t),dt

Passo 6

On vérifie enfin que ce c appartient en fait à l’intérieur (a,b) (puisque si c était a ou b, on aurait égalité d’extrêmes et f serait constante, ce qui est un cas particulier où la conclusion reste vraie). En multipliant par (b-a), on obtient la formule souhaitée.

Resposta

Il existe bien cin(a,b) tel que
integrala^b f(t),dt = f(c),(b-a)

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