Soit
une fonction continue sur
. Montrer qu’il existe
tel que
Passo 1
On a une fonction continue
sur l’intervalle fermé
et on veut montrer qu’il existe
tel que
. Le résultat qu’on va utiliser s’appelle le théorème des accroissements finis pour les intégrales (ou théorème de la valeur moyenne pour les intégrales).
Passo 2
Comme
est continue sur le compact
, elle atteint son minimum et son maximum sur cet intervalle (théorème des valeurs extrêmes). On pose
Passo 3
Pour tout
, on a
. En intégrant ces inégalités de
à
et en utilisant la propriété de monotonie de l’intégrale, on obtient :
Passo 4
Comme
, on peut diviser par
:
Passo 5
Or
étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires nous assure qu’il existe
tel que
Passo 6
On vérifie enfin que ce
appartient en fait à l’intérieur
(puisque si
était
ou
, on aurait égalité d’extrêmes et
serait constante, ce qui est un cas particulier où la conclusion reste vraie). En multipliant par
, on obtient la formule souhaitée.
Resposta
Il existe bien
tel que