Calcule as seguintes integrais utilizando o teorema de Green, ao longo das curvas C, orientadas positivamente.:
ointC(e^x-3 y) d x+(e^y+6 x) d y, onde C é a elipse x^2+4 y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointC(e^x-3y),dx+(e^y+6x),dy
ao longo da curva fechada C, que é a elipse
,x^2+4y^2=4, orientada positivamente.
O conteúdo necessário é o Teorema de Green, que permite trocar a integral de linha por uma integral dupla sobre a região D interna à curva.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=e^x-3y, Q(x,y)=e^y+6x
e aplicamos o Teorema de Green:
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial x(e^y+6x)=6, partial Ppartial y =partialpartial y(e^x-3y)=-3

Passo 4

Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =6-(-3)=9,
que é constante. Portanto
ointC(e^x-3y),dx+(e^y+6x),dy =integral duplaD9,dA =9,Area(D)

Passo 5

A região D é a elipse
x^22^2+y^21^2<=1
com semieixos a=2 e b=1, logo
Area(D)=pi a b=2pi.
Assim
9cdotArea(D)=9cdot2pi=18pi

Resposta

18pi

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