Determinar a solução particular das seguintes EDOs aplicando o método de Variação de Parâmetros:
y^prime prime+y^prime-2 y=e^x

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO não homogênea de segunda ordem
y'' + y' - 2y = e^x
Conteúdo: método de variação de parâmetros. Para resolver, vamos precisar da solução complementar da homogênea e do Wronskiano das soluções fundamentais.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y'' + y' - 2y = 0
Formamos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0,
cuja solução é
r = 1 e r = -2
Logo, duas soluções lineares independentes são
y1 = e^x, y2 = e^-2x

Passo 3

Calcular o Wronskiano de y1 e y2:
W(y1,y2) = y1 & y2 y1' & y2' = e^x(-2e^-2x) - (e^x)(e^-2x) = -3e^-x

Passo 4

Aplicar as fórmulas de variação de parâmetros. Escrevemos a solução particular como
yp = u1(x)y1 + u2(x)y2,
e definimos
u1' = -R(x),y2W, u2' = R(x),y1W,
onde R(x)=e^x.

Passo 5

Substituir R(x), y1, y2 e W nas fórmulas e integrar:
u1' = -e^xcdot e^-2x-3e^-x = 13Longrightarrow u1 = x3,
u2' = e^xcdot e^x-3e^-x = -e^3x3Longrightarrow u2 = -e^3x9

Passo 6

Construir a solução particular e simplificar:
yp = u1y1 + u2y2 = x3e^x - e^3x9e^-2x = x e^x3 - e^x9 = e^xl(x3 - 19r)
O termo -tfrace^x9 faz parte da solução homogênea, então podemos descartá-lo, ficando com

Passo 7

yp(x) = tfracx e^x3

Resposta

yp(x) = x e^x3

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