Calcule as seguintes integrais verificando, por meio da derivação, se a resposta encontrada está correta (somente do item a ) até o item f ):
e) integral sen(sen theta) cos theta d theta

Passo 1

A integral a ser calculada é integral sen(sen theta) cos theta , dtheta. O tema é integração por substituição, onde vamos identificar uma parte da integral cuja derivada aparece junto e trocar de variável, usando a regra de substituição.

Passo 2

Definimos u = sen theta. Então du = cos theta , dtheta, e note que cos theta , dtheta está presente na integral original.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos integral sen(u) , du. Essa integral é direta, pois sabemos que integral sen(u) , du = -cos(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável theta, temos a antiderivada -cos(sen theta) + C.

Passo 5

Para verificar, derivamos -cos(sen theta). Pela regra da cadeia, ddtheta[-cos(sen theta)] = -(-sen(sen theta))cdot cos theta = sen(sen theta)cos theta, que é exatamente o integrando.

Resposta

-cos(sen theta) + C

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