Calcule as seguintes integrais verificando, por meio da derivação, se a resposta encontrada está correta (somente do item
) até o item
):
i)
i)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando técnicas de integração e depois conferir o resultado por derivação. Vamos usar integração por partes e depois derivar a expressão encontrada para garantir que volta a
.
Passo 2
Escolho as funções para integração por partes:
e
. Então temos:
e
. Pela fórmula
,
aplicando:
aplicando:
Passo 3
Agora calculo
. Faço a substituição
, então
e fica
Passo 4
Logo a primitiva geral é
Passo 5
Para verificar, derivo
: pela regra do produto,
Passo 6
Somando dá
, confirmando a integral correta.
Resposta
I(x)=x\arctan(x)-\tfrac12\ln(1+x^2)+C