Calcule as seguintes integrais verificando, por meio da derivação, se a resposta encontrada está correta (somente do item a ) até o item f ):
i) integral arctg x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral arctan(x),dx usando técnicas de integração e depois conferir o resultado por derivação. Vamos usar integração por partes e depois derivar a expressão encontrada para garantir que volta a arctan(x).

Passo 2

Escolho as funções para integração por partes: u = arctan(x) e dv = dx. Então temos: du = 11+x^2,dx e v = x. Pela fórmula integral u,dv = u v - integral v,du,
aplicando:
integral arctan(x),dx = xarctan(x) - integral x cdot 11+x^2,dx

Passo 3

Agora calculo integral x1+x^2,dx. Faço a substituição t = 1+x^2, então dt = 2x,dx e fica
integral x1+x^2,dx = 12 integral dtt = 12 ln|t| + C = 12 ln(1+x^2) + C

Passo 4

Logo a primitiva geral é
I(x) = xarctan(x) - 12 ln(1+x^2) + C

Passo 5

Para verificar, derivo I(x): pela regra do produto,
ddxl[xarctan(x)r] = arctan(x) + x1+x^2, e
ddxl[-tfrac12ln(1+x^2)r] = -tfrac12 cdot 2x1+x^2 = -x1+x^2

Passo 6

Somando dá arctan(x), confirmando a integral correta.

Resposta

I(x)=x\arctan(x)-\tfrac12\ln(1+x^2)+C

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