Calcule os seguintes limies, lembrando-se que \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite \displaystyle \lim_{x\to \frac\pi2}\frac{\cos x}{\,x-\frac\pi2\,},
que é uma forma de indeterminação \tfrac{0}{0}. Vamos usar a substituição t = x - \tfrac\pi2 e o limite conhecido \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Fazendo
t = x - \frac\pi2,
quando x\to \tfrac\pi2 temos t\to0. Além disso,
\cos x = \cos\Bigl(\frac\pi2 + t\Bigr) = -\sin t
e o denominador fica x-\tfrac\pi2 = t.

Passo 3

Substituindo no quociente,
\frac{\cos x}{x-\frac\pi2} = \frac{-\sin t}{t} = -\frac{\sin t}{t}.

Passo 4

Como \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1, concluímos
\lim_{x\to \frac\pi2}\frac{\cos x}{x-\frac\pi2} = -1.

Resposta

-1

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