Calcule os seguintes limies, lembrando-se que \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2} 2 t}{t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen}^2(2t)}{t^2}.
O conteúdo é limite de função trigonométrica, e vamos usar o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.

Passo 2

Reescrevemos o quociente de modo a usar esse limite:
\frac{\operatorname{sen}^2(2t)}{t^2} = \biggl(\frac{\operatorname{sen}(2t)}{2t}\biggr)^2 \cdot \frac{(2t)^2}{t^2}.

Passo 3

Agora simplificamos a segunda fração. Como (2t)^2=4t^2, tem-se
\frac{(2t)^2}{t^2}=4.

Passo 4

Ao fazer t\to0, o fator \bigl(\frac{\operatorname{sen}(2t)}{2t}\bigr)^2 tende a 1^2=1. Logo
\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen}^2(2t)}{t^2} =1\cdot4=4.

Resposta

O valor do limite é 4.

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