Calcule os seguintes limites
onde
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse limite juntos. A questão pede para calcular o limite:
Aqui, estamos trabalhando com funções exponenciais e limites, que são conceitos básicos em cálculo. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e algumas propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o limite que temos aqui se assemelha à definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Comparando com o nosso limite, podemos identificar que
. Então, o limite que precisamos calcular é exatamente a derivada de
em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
. Para isso, usamos uma regra importante das funções exponenciais. Sabemos que:
Aqui,
é o logaritmo natural de
, e essa fórmula nos dá a taxa de variação da função exponencial em qualquer ponto
.
Passo 4
Com essa informação, podemos calcular a derivada de
no ponto
:
Isso significa que o limite que queríamos calcular é igual a
.