Calcule os seguintes limites
(q) lim x b a^x-a^bx-b, onde 0<a neq 1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse limite juntos. A questão pede para calcular o limite:
lim x b a^x-a^bx-b, onde 0 < a neq 1
Aqui, estamos trabalhando com funções exponenciais e limites, que são conceitos básicos em cálculo. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e algumas propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o limite que temos aqui se assemelha à definição de derivada. A derivada de uma função f(x) em um ponto b é dada por:
f'(b) = lim x b f(x) - f(b)x - b
Comparando com o nosso limite, podemos identificar que f(x) = a^x . Então, o limite que precisamos calcular é exatamente a derivada de a^x em x = b .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de f(x) = a^x . Para isso, usamos uma regra importante das funções exponenciais. Sabemos que:
ddx a^x = a^x ln(a)
Aqui, ln(a) é o logaritmo natural de a , e essa fórmula nos dá a taxa de variação da função exponencial em qualquer ponto x .

Passo 4

Com essa informação, podemos calcular a derivada de a^x no ponto x = b :
f'(b) = a^b ln(a)
Isso significa que o limite que queríamos calcular é igual a a^b ln(a) .

Resposta

lim x b a^x-a^bx-b = a^b ln(a)

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