Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o limite
. Esse problema envolve conceitos de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que têm potências e usar algumas propriedades de limites que facilitam nosso trabalho quando
vai para infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
. Olhando para os termos de maior grau no numerador e no denominador, que são ambos
, percebemos que quando
fica muito grande, os termos constantes (3 e 1) têm menos influência. Então, podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão ainda mais. Quando
tende ao infinito,
e
se aproximam de zero. Então, podemos aproximar a fração por:
Passo 4
Com essa simplificação, nosso limite fica assim:
Esse é um limite bem conhecido na matemática, que nos lembra uma das definições do número
.
Passo 5
Sabemos que:
Isso porque, por definição,
é o limite quando
tende ao infinito de
.
Resposta
O limite é igual a
.