Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o limite lim x +infty(2 x+32 x+1)^x. Esse problema envolve conceitos de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que têm potências e usar algumas propriedades de limites que facilitam nosso trabalho quando x vai para infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite: 2x + 32x + 1. Olhando para os termos de maior grau no numerador e no denominador, que são ambos 2x, percebemos que quando x fica muito grande, os termos constantes (3 e 1) têm menos influência. Então, podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
2x + 32x + 1 = 2x(1 + 32x)2x(1 + 12x) = 1 + 32x1 + 12x

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão ainda mais. Quando x tende ao infinito, 32x e 12x se aproximam de zero. Então, podemos aproximar a fração por:
1 + 32x1 + 12x approx 1 + 22x = 1 + 1x

Passo 4

Com essa simplificação, nosso limite fica assim:
limx to +infty (1 + 1x)^x
Esse é um limite bem conhecido na matemática, que nos lembra uma das definições do número e.

Passo 5

Sabemos que:
limx to +infty (1 + 1x)^x = e
Isso porque, por definição, e é o limite quando x tende ao infinito de (1 + 1x)^x.

Resposta

O limite é igual a e.

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