Calcule os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0sin(x^2+1/x)-sin(1/x)x. O conteúdo é limite de funções trigonométricas, e a gente vai usar uma identidade de soma e diferença de senos e o comportamento assintótico de sin t próximo de zero.

Passo 2

Usamos a identidade sin A-sin B=2cosl(tfracA+B2r),sinl(tfracA-B2r). Aqui A=x^2+1/x e B=1/x, então
sin(x^2+1/x)-sin(1/x)=2cosl((x^2+1/x)+(1/x)2r),sinl((x^2+1/x)-(1/x)2r)

Passo 3

Simplificando os argumentos temos
sin(x^2+1/x)-sin(1/x)=2cosl(x^2/2+1/xr),sinl(x^2/2r),

Passo 4

logo o limite vira
limxto02cos(x^2/2+1/x),sin(x^2/2)x

Passo 5

Para xto0, vale sin(x^2/2)sim x^2/2 e cos(x^2/2+1/x) permanece limitado entre -1 e 1. Assim o quociente se comporta como xcos(cdots), que tende a zero.

Resposta

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