Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t=t+yt-y ; y(1)=0
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

A questão pede para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) dado por dydt=t+yt-y com condição y(1)=0. Isso envolve EDO de primeira ordem e homogênea; vamos usar a substituição y=ut, onde u é função de t.

Passo 2

Fazendo y=ut temos dydt=u+tdudt. Substituindo na equação inicial:
nu + tdudt = t + utt - ut = 1+u1-u

Passo 3

Isolando dudt obtemos
tdudt = 1+u1-u - u = 1+u^21-u, portanto
$$\frac{1-u}{1+u^2},du = \frac{dt}{t}.
$$

Passo 4

Integramos ambos os lados:
$$\int \frac{1-u}{1+u^2},du = \int \frac{dt}{t}.
$$

Passo 5

Calculando as integrais,
integral 11+u^2,du - integral u1+u^2,du = arctan u - 12ln(1+u^2), logo
$$\arctan u - \tfrac12\ln(1+u^2) = \ln|t| + C.
$$

Passo 6

Usando a condição inicial t=1, y=0 implica u(1)=0, então C=0. Substituindo u=tfracyt e simplificando, obtemos:
$$2\arctan\Bigl(\frac{y}{t}\Bigr) = \ln\bigl(t2+y2\bigr).
$$

Resposta

lnl(t^2+y^2r)=2arctanl(tfracytr)

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