Determine a solução do Problema de Valor Inicial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
A questão pede para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) dado por
com condição
. Isso envolve EDO de primeira ordem e homogênea; vamos usar a substituição
, onde
é função de
.
Passo 2
Fazendo
temos
. Substituindo na equação inicial:
Passo 3
Isolando
obtemos
$$\frac{1-u}{1+u^2},du = \frac{dt}{t}.
$$
Passo 4
Integramos ambos os lados:
$$\int \frac{1-u}{1+u^2},du = \int \frac{dt}{t}.
$$
Passo 5
Calculando as integrais,
$$\arctan u - \tfrac12\ln(1+u^2) = \ln|t| + C.
$$
Passo 6
Usando a condição inicial
implica
, então
. Substituindo
e simplificando, obtemos:
$$2\arctan\Bigl(\frac{y}{t}\Bigr) = \ln\bigl(t2+y2\bigr).
$$