Calcule os seguintes limites:
lim x 0 e^x-e^-x2 x

Passo 1

Estamos calculando o limite limxto0e^x-e^-x2x. O conteúdo envolve limites de funções exponenciais e vamos precisar aplicar a regra de L’Hôpital, pois veremos que a forma inicial é indeterminada.

Passo 2

Ao substituir x=0, o numerador fica e^0 - e^0 = 0 e o denominador é 2cdot0=0, ou seja, temos uma indeterminação 0/0. A regra de L’Hôpital diz que, em casos assim, podemos derivar numerador e denominador e refazer o limite.

Passo 3

Derivando o numerador f(x)=e^x-e^-x temos f'(x)=e^x+e^-x. Derivando o denominador g(x)=2x temos g'(x)=2. Então o limite vira
limxto0f'(x)g'(x)=limxto0e^x+e^-x2

Passo 4

Agora basta avaliar em x=0: temos (e^0 + e^0)/2 = (1+1)/2 = 1. Portanto o limite vale 1.

Resposta

1

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