Calcule os seguintes limites: lim (x, y) (0,0) x yraizy-x^3.

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0) x,yraizy - x^3
É um limite de função de duas variáveis. Para que exista um limite finito é preciso que, para toda sequência (x,y)to(0,0) dentro do domínio, a expressão tenda ao mesmo valor. Vamos usar análise por caminhos.

Passo 2

Observamos o domínio da função: como aparece raizy - x^3, precisamos ter
y - x^3>= 0,
isto é, todas as aproximações de (0,0) devem satisfazer y>= x^3.

Passo 3

Considere o caminho
y = x^3 + x^4
Nesse caso, quando xto 0 temos yto0 e y>= x^3. Calculamos
x,y = x,(x^3+x^4) = x^4+x^5,
raizy - x^3 = raizx^4 = |x^2| = x^2(xto0^+)
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x,yraizy - x^3 = x^4+x^5x^2 = x^2 + x^3 ;xrightarrow[xto0];0

Passo 4

Agora use outro caminho bem mais “rente” ao limiar do domínio:
y = x^3 + x^10
Então
x,y = x,(x^3+x^10) = x^4+x^11,
raizy - x^3 = raizx^10 = |x^5| = x^5(xto0^+)
Segue que
x,yraizy - x^3 = x^4+x^11x^5 = x^-1 + x^6 ;xrightarrow[xto0^+];+infty

Passo 5

Pelo critério de caminhos, como em um caminho obtemos limite 0 e em outro obtemos +infty, não há valor único. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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