Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos
e
e faça um esboço do gráfico:
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
- suas curvas de nível;
- as interseções do gráfico com os planos
(isto é, ) e (isto é, ); - um esboço do gráfico.
Este é um caso típico de superfícies definidas por equação implícita e “curvas de nível” em 3D.
Passo 2
Para obter as curvas de nível, fixamos
com
. Então
Portanto, para cada
, a curva de nível é um círculo de raio
no plano
. Para
ou
não há pontos reais.
Passo 3
Interseção com o plano
: aqui
, então
com
. Isso é a semi-circunferência
no plano
.
Passo 4
Interseção com o plano
: aqui
, então
com
. Isso é a semi-circunferência
no plano
.
Passo 5
Esboço do gráfico:
A equação original descreve a metade superior da esfera de raio centrada na origem (pois
e
). Para esboçar:
– Desenhe os eixos .
– Marque a circunferência equatorial no plano
.
– Eleve cada ponto dessa circunferência até formar uma cúpula (hemisfério) suave.
– As curvas de nível são círculos paralelos ao plano .
A equação original descreve a metade superior da esfera de raio
– Desenhe os eixos
– Marque a circunferência equatorial
– Eleve cada ponto dessa circunferência até formar uma cúpula (hemisfério) suave.
– As curvas de nível são círculos paralelos ao plano
Resposta
Curvas de nível: para
,
Interseção com
:
Interseção com
:
Esboço: semiesfera de raio
sobre o plano
.