Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos y z e x z e faça um esboço do gráfico: z=raiz1-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função
z = raiz1 - x^2 - y^2,:
  1. suas curvas de nível;
  2. as interseções do gráfico com os planos yz (isto é, x=0) e xz (isto é, y=0);
  3. um esboço do gráfico.
    Este é um caso típico de superfícies definidas por equação implícita e “curvas de nível” em 3D.

Passo 2

Para obter as curvas de nível, fixamos
z = c,
com c>=0. Então
raiz1 - x^2 - y^2 = c Longrightarrow 1 - x^2 - y^2 = c^2 Longrightarrow x^2 + y^2 = 1 - c^2
Portanto, para cada cin[0,1], a curva de nível é um círculo de raio raiz1 - c^2 no plano z=c. Para c>1 ou c<0 não há pontos reais.

Passo 3

Interseção com o plano yz: aqui x=0, então
z = raiz1 - 0^2 - y^2 = raiz1 - y^2,
com -1<= y<=1. Isso é a semi-circunferência
y^2 + z^2 = 1, z>=0
no plano x=0.

Passo 4

Interseção com o plano xz: aqui y=0, então
z = raiz1 - x^2 - 0^2 = raiz1 - x^2,
com -1<= x<=1. Isso é a semi-circunferência
x^2 + z^2 = 1, z>=0
no plano y=0.

Passo 5

Esboço do gráfico:
A equação original descreve a metade superior da esfera de raio 1 centrada na origem (pois x^2+y^2+z^2=1 e z>=0). Para esboçar:
– Desenhe os eixos x,y,z.
– Marque a circunferência equatorial x^2+y^2=1 no plano z=0.
– Eleve cada ponto dessa circunferência até formar uma cúpula (hemisfério) suave.
– As curvas de nível são círculos paralelos ao plano xy.

Resposta

Curvas de nível: para cin[0,1],
x^2 + y^2 = 1 - c^2 no plano z=c
Interseção com yz:
x=0,; y^2 + z^2 = 1,; z>=0
Interseção com xz:
y=0,; x^2 + z^2 = 1,; z>=0
Esboço: semiesfera de raio 1 sobre o plano z=0.

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