Quais dos seguintes campos vetoriais definidos em
são conservativos? Em caso afirmativo, dê exemplo de uma função potencial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar quais desses campos vetoriais em
são conservativos. Se forem, a gente também precisa encontrar uma função potencial para eles. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campos conservativos e funções potenciais. Basicamente, um campo vetorial é conservativo se pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se satisfizer a condição:
Essa condição é necessária e suficiente em
quando o domínio é simplesmente conexo.
Passo 3
Vamos analisar cada campo vetorial separado. Começando pelo primeiro:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma função potencial
tal que:
Ou seja:
Integrando a primeira equação em relação a
:
Como
,
é uma constante. Podemos simplificar para:
Passo 5
Vamos para o segundo campo:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
não é conservativo.
Passo 6
Por último, vamos analisar o terceiro campo:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Simplificando:
Como
, o campo
é conservativo.
Resposta
Os campos vetoriais
e
são conservativos. Uma função potencial para
é
.