Quais dos seguintes campos vetoriais definidos em R^2 são conservativos? Em caso afirmativo, dê exemplo de uma função potencial.
F1(x, y)=(x, 0) ; F2(x, y)=(0, x) ; F3(x, y)=(2 x y sen(x^2 y), e^y+x^2 sen(x^2 y)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar quais desses campos vetoriais em R^2 são conservativos. Se forem, a gente também precisa encontrar uma função potencial para eles. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campos conservativos e funções potenciais. Basicamente, um campo vetorial é conservativo se pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) é conservativo se satisfizer a condição:
partial Qpartial x = partial Ppartial y
Essa condição é necessária e suficiente em R^2 quando o domínio é simplesmente conexo.

Passo 3

Vamos analisar cada campo vetorial separado. Começando pelo primeiro:
F1(x, y) = (x, 0)
Aqui, P(x, y) = x e Q(x, y) = 0.
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial 0partial x = 0
partial Ppartial y = partial xpartial y = 0
Como partial Qpartial x = partial Ppartial y, o campo F1 é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma função potencial phi(x, y) tal que:
nabla phi = F1
Ou seja:
partial phipartial x = x e partial phipartial y = 0
Integrando a primeira equação em relação a x:
phi(x, y) = 12x^2 + C(y)
Como partial phipartial y = 0, C(y) é uma constante. Podemos simplificar para:
phi(x, y) = 12x^2

Passo 5

Vamos para o segundo campo:
F2(x, y) = (0, x)
Aqui, P(x, y) = 0 e Q(x, y) = x.
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial 0partial y = 0
Como partial Qpartial x neq partial Ppartial y, o campo F2 não é conservativo.

Passo 6

Por último, vamos analisar o terceiro campo:
F3(x, y) = (2xy sin(x^2y), e^y + x^2 sin(x^2y))
Aqui, P(x, y) = 2xy sin(x^2y) e Q(x, y) = e^y + x^2 sin(x^2y).
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(e^y + x^2 sin(x^2y)) = 2x sin(x^2y) + x^2 cdot 2xy cos(x^2y)
partial Ppartial y = partialpartial y(2xy sin(x^2y)) = 2x sin(x^2y) + 2xy cdot x^2 cos(x^2y)
Simplificando:
partial Qpartial x = 2x sin(x^2y) + 2x^3y cos(x^2y)
partial Ppartial y = 2x sin(x^2y) + 2x^3y cos(x^2y)
Como partial Qpartial x = partial Ppartial y, o campo F3 é conservativo.

Resposta

Os campos vetoriais F1(x, y) = (x, 0) e F3(x, y) = (2xy sin(x^2y), e^y + x^2 sin(x^2y)) são conservativos. Uma função potencial para F1 é phi(x, y) = 12x^2.

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