Determine as derivadas parciais das seguintes funções: f(x, y)=x^2+3 x y+x y e^2 y

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis: f(x, y) = x^2 + 3xy + xy e^2 y . O que precisamos fazer é encontrar as derivadas parciais dessa função, ou seja, as derivadas em relação a x e a y . Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação, tratando uma variável de cada vez como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , que escrevemos como partial fpartial x .
  1. Derivada de x^2 em relação a x :
partialpartial x(x^2) = 2x
  1. Derivada de 3xy em relação a x :
    Aqui, y é tratado como uma constante.
partialpartial x(3xy) = 3y
  1. Derivada de xy e^2 y em relação a x :
    Novamente, y e^2 y é constante em relação a x .
partialpartial x(xy e^2 y) = y e^2 y
Agora, somamos todas essas partes:
partial fpartial x = 2x + 3y + y e^2 y

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , que é partial fpartial y .
  1. Derivada de x^2 em relação a y :
    Aqui, x é constante, então a derivada é zero.
partialpartial y(x^2) = 0
  1. Derivada de 3xy em relação a y :
    x é constante.
partialpartial y(3xy) = 3x
  1. Derivada de xy e^2 y em relação a y :
    Usamos a regra do produto aqui, já que temos y multiplicando e^2 y .
partialpartial y(xy e^2 y) = x cdot e^2 y + xy cdot 2 e^2 y = e^2 yx + 2x y e^2 y
Simplificando:
partialpartial y(xy e^2 y) = x e^2 y (1 + 2y)
Agora, somamos todas as partes:
partial fpartial y = 0 + 3x + x e^2 y (1 + 2y) = 3x + x e^2 y (1 + 2y)

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) são:
partial fpartial x = 2x + 3y + y e^2 y
partial fpartial y = 3x + x e^2 y (1 + 2y)

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