Calcule os seguintes limites:
lim x 0 x^2e^x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0x^2e^x-1
Isso é um limite cujo numerador e denominador tendem a zero, então temos a forma indeterminada tfrac00. Vamos usar a regra de l’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada fazendo xto 0:
x^2to 0 e e^x-1to e^0-1=0.
Portanto, a expressão é tfrac00 e podemos aplicar l’Hôpital, que diz que
limxto 0f(x)g(x) =limxto 0f'(x)g'(x)
quando ambas derivadas existem e o limite da razão das derivadas existe.

Passo 3

Derivando numerador e denominador temos:
  • f(x)=x^2 Rightarrow f'(x)=2x
  • g(x)=e^x-1 Rightarrow g'(x)=e^x
Então
limxto 0x^2e^x-1 =limxto 02xe^x

Passo 4

Agora avaliamos o novo limite diretamente:
limxto 02xe^x =2cdot 0e^0 =0

Resposta

0

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